Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isalgnb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isalgnb 32175
Description: Property for an element 𝑋 of a field 𝐸 to be algebraic over a subfield 𝐹. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
algnbval.o 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
algnbval.z 𝑍 = (0g‘(Poly1𝐸))
algnbval.1 0 = (0g𝐸)
algnbval.2 (𝜑𝐸 ∈ Field)
algnbval.3 (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
isalgnb.b 𝐵 = (Base‘𝐸)
Assertion
Ref Expression
isalgnb (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 AlgNb 𝐹) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})((𝑂𝑝)‘𝑋) = 0 )))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐹,𝑝   𝑂,𝑝   𝑍,𝑝   𝐵,𝑝   𝑋,𝑝   𝜑,𝑝
Allowed substitution hint:   0 (𝑝)

Proof of Theorem isalgnb
StepHypRef Expression
1 algnbval.o . . . . . 6 𝑂 = (𝐸 evalSub1 𝐹)
2 algnbval.z . . . . . 6 𝑍 = (0g‘(Poly1𝐸))
3 algnbval.1 . . . . . 6 0 = (0g𝐸)
4 algnbval.2 . . . . . 6 (𝜑𝐸 ∈ Field)
5 algnbval.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸))
61, 2, 3, 4, 5algnbval 32174 . . . . 5 (𝜑 → (𝐸 AlgNb 𝐹) = 𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})((𝑂𝑝) “ { 0 }))
76eleq2d 2823 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 AlgNb 𝐹) ↔ 𝑋 𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})((𝑂𝑝) “ { 0 })))
8 eliun 4956 . . . 4 (𝑋 𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})((𝑂𝑝) “ { 0 }) ↔ ∃𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})𝑋 ∈ ((𝑂𝑝) “ { 0 }))
97, 8bitrdi 286 . . 3 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 AlgNb 𝐹) ↔ ∃𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})𝑋 ∈ ((𝑂𝑝) “ { 0 })))
10 eqid 2737 . . . . . 6 (𝐸s 𝐵) = (𝐸s 𝐵)
11 isalgnb.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐸)
12 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘(𝐸s 𝐵)) = (Base‘(𝐸s 𝐵))
134adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → 𝐸 ∈ Field)
1411fvexi 6853 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → 𝐵 ∈ V)
164fldcrngd 20149 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐸 ∈ CRing)
17 issdrg 20213 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) ↔ (𝐸 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸) ∧ (𝐸s 𝐹) ∈ DivRing))
1817simp2bi 1146 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ (SubDRing‘𝐸) → 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
195, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸))
20 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝐸s 𝐹) = (𝐸s 𝐹)
21 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Poly1‘(𝐸s 𝐹)) = (Poly1‘(𝐸s 𝐹))
221, 11, 10, 20, 21evls1rhm 21639 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ CRing ∧ 𝐹 ∈ (SubRing‘𝐸)) → 𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸s 𝐹)) RingHom (𝐸s 𝐵)))
2316, 19, 22syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸s 𝐹)) RingHom (𝐸s 𝐵)))
24 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Poly1‘(𝐸s 𝐹))) = (Base‘(Poly1‘(𝐸s 𝐹)))
2524, 12rhmf 20110 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((Poly1‘(𝐸s 𝐹)) RingHom (𝐸s 𝐵)) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸s 𝐵)))
2623, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸s 𝐵)))
2726adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → 𝑂:(Base‘(Poly1‘(𝐸s 𝐹)))⟶(Base‘(𝐸s 𝐵)))
28 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → 𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍}))
2928eldifad 3920 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → 𝑝 ∈ dom 𝑂)
3026fdmd 6676 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom 𝑂 = (Base‘(Poly1‘(𝐸s 𝐹))))
3130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → dom 𝑂 = (Base‘(Poly1‘(𝐸s 𝐹))))
3229, 31eleqtrd 2840 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → 𝑝 ∈ (Base‘(Poly1‘(𝐸s 𝐹))))
3327, 32ffvelcdmd 7032 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → (𝑂𝑝) ∈ (Base‘(𝐸s 𝐵)))
3410, 11, 12, 13, 15, 33pwselbas 17330 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → (𝑂𝑝):𝐵𝐵)
35 ffn 6665 . . . . 5 ((𝑂𝑝):𝐵𝐵 → (𝑂𝑝) Fn 𝐵)
36 fniniseg 7007 . . . . 5 ((𝑂𝑝) Fn 𝐵 → (𝑋 ∈ ((𝑂𝑝) “ { 0 }) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑝)‘𝑋) = 0 )))
3734, 35, 363syl 18 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})) → (𝑋 ∈ ((𝑂𝑝) “ { 0 }) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑝)‘𝑋) = 0 )))
3837rexbidva 3171 . . 3 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})𝑋 ∈ ((𝑂𝑝) “ { 0 }) ↔ ∃𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})(𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑝)‘𝑋) = 0 )))
399, 38bitrd 278 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 AlgNb 𝐹) ↔ ∃𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})(𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑝)‘𝑋) = 0 )))
40 r19.42v 3185 . 2 (∃𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})(𝑋𝐵 ∧ ((𝑂𝑝)‘𝑋) = 0 ) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})((𝑂𝑝)‘𝑋) = 0 ))
4139, 40bitrdi 286 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐸 AlgNb 𝐹) ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (dom 𝑂 ∖ {𝑍})((𝑂𝑝)‘𝑋) = 0 )))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3071  Vcvv 3443  cdif 3905  {csn 4584   ciun 4952  ccnv 5630  dom cdm 5631  cima 5634   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  Basecbs 17042  s cress 17071  0gc0g 17280  s cpws 17287  CRingccrg 19918   RingHom crh 20095  DivRingcdr 20137  Fieldcfield 20138  SubRingcsubrg 20170  SubDRingcsdrg 20211  Poly1cpl1 21499   evalSub1 ces1 21630   AlgNb calgnb 32170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-ofr 7610  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-hash 14184  df-struct 16978  df-sets 16995  df-slot 17013  df-ndx 17025  df-base 17043  df-ress 17072  df-plusg 17105  df-mulr 17106  df-sca 17108  df-vsca 17109  df-ip 17110  df-tset 17111  df-ple 17112  df-ds 17114  df-hom 17116  df-cco 17117  df-0g 17282  df-gsum 17283  df-prds 17288  df-pws 17290  df-mre 17425  df-mrc 17426  df-acs 17428  df-mgm 18456  df-sgrp 18505  df-mnd 18516  df-mhm 18560  df-submnd 18561  df-grp 18710  df-minusg 18711  df-sbg 18712  df-mulg 18831  df-subg 18883  df-ghm 18964  df-cntz 19055  df-cmn 19522  df-abl 19523  df-mgp 19855  df-ur 19872  df-srg 19876  df-ring 19919  df-cring 19920  df-rnghom 20098  df-field 20140  df-subrg 20172  df-sdrg 20212  df-lmod 20276  df-lss 20345  df-lsp 20385  df-assa 21211  df-asp 21212  df-ascl 21213  df-psr 21263  df-mvr 21264  df-mpl 21265  df-opsr 21267  df-evls 21433  df-psr1 21502  df-ply1 21504  df-evls1 21632  df-algnb 32172
This theorem is referenced by:  minplyeulem  32176
  Copyright terms: Public domain W3C validator