Theorem isclwwlknonOLD 27265

Description: Obsolete version of isclwwlknon 27264 as of 24-Mar-2022. (Contributed by AV, 25-Feb-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
isclwwlknon.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
isclwwlknonOLD	⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))

Proof of Theorem isclwwlknonOLD

Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isclwwlknon.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	clwwlknonOLD 27263	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) = {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋})
3	2	eleq2d 2836	. 2 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ 𝑊 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋}))
4		fveq1 6331	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → (𝑤‘0) = (𝑊‘0))
5	4	eqeq1d 2773	. . 3 ⊢ (𝑤 = 𝑊 → ((𝑤‘0) = 𝑋 ↔ (𝑊‘0) = 𝑋))
6	5	elrab 3515	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ {𝑤 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑋} ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋))
7	3, 6	syl6bb 276	1 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  {crab 3065  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793  0cc0 10138  ℕ₀cn0 11494  Vtxcvtx 26095   ClWWalksN cclwwlkn 27174  ClWWalksNOncclwwlknon 27259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-nn 11223  df-n0 11495  df-clwwlknon 27260

This theorem is referenced by:  clwwlknonelOLD  27270  clwwlknonwwlknonbOLD  27282