Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isuvtxaOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isuvtxaOLD 26642
 Description: Obsolete version of uvtxel1 26643 as of 14-Feb-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 12-Oct-2017.) (Revised by AV, 30-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
uvtxel.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
isuvtx.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
isuvtxaOLD (𝐺𝑊 → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒})
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺,𝑘,𝑣   𝑒,𝑉,𝑘   𝑒,𝑊,𝑘,𝑣
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑣,𝑘)

Proof of Theorem isuvtxaOLD
StepHypRef Expression
1 uvtxel.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21uvtxavalOLD 26632 . 2 (𝐺𝑊 → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)})
3 isuvtx.e . . . . . 6 𝐸 = (Edg‘𝐺)
41, 3nbgrel 26575 . . . . 5 (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
5 df-3an 1110 . . . . . 6 (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒))
6 prcom 4456 . . . . . . . . 9 {𝑘, 𝑣} = {𝑣, 𝑘}
76sseq1i 3825 . . . . . . . 8 ({𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
87rexbii 3222 . . . . . . 7 (∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)
9 simpr 478 . . . . . . . . . 10 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
10 eldifi 3930 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑉)
119, 10anim12ci 608 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘𝑉𝑣𝑉))
12 eldifsni 4510 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}) → 𝑘𝑣)
1312adantl 474 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → 𝑘𝑣)
1411, 13jca 508 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣))
1514biantrurd 529 . . . . . . 7 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒)))
168, 15syl5rbb 276 . . . . . 6 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → ((((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
175, 16syl5bb 275 . . . . 5 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (((𝑘𝑉𝑣𝑉) ∧ 𝑘𝑣 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑣, 𝑘} ⊆ 𝑒) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
184, 17syl5bb 275 . . . 4 (((𝐺𝑊𝑣𝑉) ∧ 𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})) → (𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
1918ralbidva 3166 . . 3 ((𝐺𝑊𝑣𝑉) → (∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣) ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒))
2019rabbidva 3372 . 2 (𝐺𝑊 → {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})𝑘 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑣)} = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒})
212, 20eqtrd 2833 1 (𝐺𝑊 → (UnivVtx‘𝐺) = {𝑣𝑉 ∣ ∀𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣})∃𝑒𝐸 {𝑘, 𝑣} ⊆ 𝑒})
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2971  ∀wral 3089  ∃wrex 3090  {crab 3093   ∖ cdif 3766   ⊆ wss 3769  {csn 4368  {cpr 4370  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  Vtxcvtx 26231  Edgcedg 26282   NeighbVtx cnbgr 26566  UnivVtxcuvtx 26629 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-nbgr 26567  df-uvtx 26630 This theorem is referenced by:  uvtxael1OLD  26645
 Copyright terms: Public domain W3C validator