Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iwrdsplitOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iwrdsplitOLD 31052
 Description: Obsolete version of iwrdsplit 31051 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Apr-2019.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
iwrdsplit.s (𝜑𝑆 ∈ V)
iwrdsplit.f (𝜑𝐹:ℕ0𝑆)
iwrdsplit.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
iwrdsplitOLD (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹𝑁)”⟩))

Proof of Theorem iwrdsplitOLD
StepHypRef Expression
1 iwrdsplit.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ V)
2 iwrdsplit.f . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ0𝑆)
3 iwrdsplit.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4 1nn0 11664 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
63, 5nn0addcld 11710 . . . 4 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
71, 2, 6subiwrd 31049 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆)
8 1re 10378 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
9 nn0addge2 11695 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ≤ (𝑁 + 1))
108, 3, 9sylancr 581 . . . . 5 (𝜑 → 1 ≤ (𝑁 + 1))
111, 2, 6subiwrdlen 31050 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝑁 + 1))
1210, 11breqtrrd 4916 . . . 4 (𝜑 → 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))
13 wrdlenge1n0 13644 . . . . 5 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
147, 13syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅ ↔ 1 ≤ (♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
1512, 14mpbird 249 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅)
16 swrdccatwrdOLD 13834 . . 3 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 ∧ (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ≠ ∅) → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) substr ⟨0, ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
177, 15, 16syl2anc 579 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) substr ⟨0, ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))
1811oveq1d 6939 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
193nn0cnd 11708 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
20 1cnd 10373 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2119, 20pncand 10737 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2218, 21eqtrd 2814 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1) = 𝑁)
2322opeq2d 4645 . . . . 5 (𝜑 → ⟨0, ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)⟩ = ⟨0, 𝑁⟩)
2423oveq2d 6940 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) substr ⟨0, ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) substr ⟨0, 𝑁⟩))
25 nn0fz0 12760 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0...𝑁))
263, 25sylib 210 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (0...𝑁))
27 elfz0add 12761 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1))))
2827imp 397 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ0) ∧ 𝑁 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
293, 5, 26, 28syl21anc 828 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
3011oveq2d 6940 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))) = (0...(𝑁 + 1)))
3129, 30eleqtrrd 2862 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))))
32 swrd0valOLD 13741 . . . . 5 (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))))) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
337, 31, 32syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) substr ⟨0, 𝑁⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)))
34 fzossfzop1 12869 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)))
35 resabs1 5678 . . . . 5 ((0..^𝑁) ⊆ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
363, 34, 353syl 18 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ↾ (0..^𝑁)) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
3724, 33, 363eqtrd 2818 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) substr ⟨0, ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)⟩) = (𝐹 ↾ (0..^𝑁)))
38 lsw 13658 . . . . . 6 ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) ∈ Word 𝑆 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
397, 38syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)))
4022fveq2d 6452 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)) = ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁))
41 fzonn0p1 12868 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
42 fvres 6467 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹𝑁))
433, 41, 423syl 18 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))‘𝑁) = (𝐹𝑁))
4439, 40, 433eqtrd 2818 . . . 4 (𝜑 → (lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) = (𝐹𝑁))
4544s1eqd 13695 . . 3 (𝜑 → ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩ = ⟨“(𝐹𝑁)”⟩)
4637, 45oveq12d 6942 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) substr ⟨0, ((♯‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1)))) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘(𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))))”⟩) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹𝑁)”⟩))
4717, 46eqtr3d 2816 1 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^(𝑁 + 1))) = ((𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ++ ⟨“(𝐹𝑁)”⟩))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888   ↾ cres 5359  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  ℝcr 10273  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277   ≤ cle 10414   − cmin 10608  ℕ0cn0 11646  ...cfz 12647  ..^cfzo 12788  ♯chash 13439  Word cword 13603  lastSclsw 13656   ++ cconcat 13664  ⟨“cs1 13689   substr csubstr 13734 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11379  df-n0 11647  df-xnn0 11719  df-z 11733  df-uz 11997  df-fz 12648  df-fzo 12789  df-hash 13440  df-word 13604  df-lsw 13657  df-concat 13665  df-s1 13690  df-substr 13735 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator