Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leibpilem1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leibpilem1OLD 25235
 Description: Obsolete version of leibpilem1 25234 as of 23-Mar-2023. Lemma for leibpi 25237. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leibpilem1OLD ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem leibpilem1OLD
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 11707 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
21biimpi 208 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
32ord 851 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
43con1d 142 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
54imp 398 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
65adantrr 705 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7 nn0z 11816 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
87adantr 473 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9 odd2np1 15548 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
108, 9syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
11 zcn 11796 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
12 2cn 11513 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℂ
13 mulcl 10417 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
15 ax-1cn 10391 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℂ
16 pncan 10690 . . . . . . . . . . . 12 (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
1714, 15, 16sylancl 578 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
1817oveq1d 6989 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
19 2ne0 11549 . . . . . . . . . . 11 2 ≠ 0
20 divcan3 11123 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
2112, 19, 20mp3an23 1433 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
2218, 21eqtrd 2807 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
2311, 22syl 17 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
24 id 22 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
2523, 24eqeltrd 2859 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ)
26 oveq1 6981 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
2726oveq1d 6989 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
2827eleq1d 2843 . . . . . . 7 (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2925, 28syl5ibcom 237 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3029rexlimiv 3218 . . . . 5 (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
3110, 30syl6bi 245 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
3231impr 447 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33 nnm1nn0 11748 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
346, 33syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
3534nn0red 11766 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3634nn0ge0d 11768 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
37 2re 11512 . . . . 5 2 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
39 2pos 11548 . . . . 5 0 < 2
4039a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 < 2)
41 divge0 11308 . . . 4 ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
4235, 36, 38, 40, 41syl22anc 827 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
43 elnn0z 11804 . . 3 (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
4432, 42, 43sylanbrc 575 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
456, 44jca 504 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 834   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ∃wrex 3082   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472   ≤ cle 10473   − cmin 10668   / cdiv 11096  ℕcn 11437  2c2 11493  ℕ0cn0 11705  ℤcz 11791   ∥ cdvds 15465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-dvds 15466 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator