Theorem leibpilem1OLD 25235

Description: Obsolete version of leibpilem1 25234 as of 23-Mar-2023. Lemma for leibpi 25237. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
leibpilem1OLD	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Proof of Theorem leibpilem1OLD

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 11707	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2	1	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3	2	ord 851	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
4	3	con1d 142	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (¬ 𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ))
5	4	imp 398	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	adantrr 705	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		nn0z 11816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
9		odd2np1 15548	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
10	8, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 ↔ ∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁))
11		zcn 11796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℂ)
12		2cn 11513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
13		mulcl 10417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
14	12, 13	mpan 678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (2 · 𝑛) ∈ ℂ)
15		ax-1cn 10391	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
16		pncan 10690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑛) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
17	14, 15, 16	sylancl 578	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (2 · 𝑛))
18	17	oveq1d 6989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((2 · 𝑛) / 2))
19		2ne0 11549	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ≠ 0
20		divcan3 11123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
21	12, 19, 20	mp3an23 1433	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((2 · 𝑛) / 2) = 𝑛)
22	18, 21	eqtrd 2807	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
23	11, 22	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = 𝑛)
24		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → 𝑛 ∈ ℤ)
25	23, 24	eqeltrd 2859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ)
26		oveq1 6981	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((2 · 𝑛) + 1) − 1) = (𝑁 − 1))
27	26	oveq1d 6989	. . . . . . . 8 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) = ((𝑁 − 1) / 2))
28	27	eleq1d 2843	. . . . . . 7 ⊢ (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → (((((2 · 𝑛) + 1) − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
29	25, 28	syl5ibcom 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ ℤ → (((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
30	29	rexlimiv 3218	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℤ ((2 · 𝑛) + 1) = 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
31	10, 30	syl6bi 245	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑁 = 0) → (¬ 2 ∥ 𝑁 → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ))
32	31	impr 447	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ)
33		nnm1nn0 11748	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
34	6, 33	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
35	34	nn0red 11766	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
36	34	nn0ge0d 11768	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
37		2re 11512	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 2 ∈ ℝ)
39		2pos 11548	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
40	39	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 < 2)
41		divge0 11308	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 1)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
42	35, 36, 38, 40, 41	syl22anc 827	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2))
43		elnn0z 11804	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 2)))
44	32, 42, 43	sylanbrc 575	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
45	6, 44	jca 504	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (¬ 𝑁 = 0 ∧ ¬ 2 ∥ 𝑁)) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁 − 1) / 2) ∈ ℕ0))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∨ wo 834   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  ∃wrex 3082   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  ℂcc 10331  ℝcr 10332  0cc0 10333  1c1 10334   + caddc 10336   · cmul 10338   < clt 10472   ≤ cle 10473   − cmin 10668   / cdiv 11096  ℕcn 11437  2c2 11493  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791   ∥ cdvds 15465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-n0 11706  df-z 11792  df-dvds 15466

This theorem is referenced by: (None)