Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsncv0OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsncv0OLD 19420
 Description: Obsolete version of lspsncv0 19419 as of 13-Jul-2022. (Contributed by NM, 12-Aug-2014.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsncv0OLD.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsncv0OLD.z 0 = (0g𝑊)
lspsncv0OLD.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsncv0OLD.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lspsncv0OLD.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lspsncv0OLD.x (𝜑𝑋𝑉)
lspsncv0OLD.e (𝜑𝑋0 )
Assertion
Ref Expression
lspsncv0OLD (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
Distinct variable group:   𝜑,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑦)   𝑁(𝑦)   𝑉(𝑦)   𝑊(𝑦)   𝑋(𝑦)   0 (𝑦)

Proof of Theorem lspsncv0OLD
StepHypRef Expression
1 df-pss 3748 . . . . 5 ({ 0 } ⊊ 𝑦 ↔ ({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦))
2 simpr 477 . . . . . 6 (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → { 0 } ≠ 𝑦)
3 nesym 2993 . . . . . 6 ({ 0 } ≠ 𝑦 ↔ ¬ 𝑦 = { 0 })
42, 3sylib 209 . . . . 5 (({ 0 } ⊆ 𝑦 ∧ { 0 } ≠ 𝑦) → ¬ 𝑦 = { 0 })
51, 4sylbi 208 . . . 4 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 = { 0 })
6 lspsncv0OLD.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
76ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑊 ∈ LVec)
8 simplr 785 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦𝑆)
9 lspsncv0OLD.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
109ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑋𝑉)
11 simpr 477 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
12 lspsncv0OLD.v . . . . . . . . . . 11 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lspsncv0OLD.z . . . . . . . . . . 11 0 = (0g𝑊)
14 lspsncv0OLD.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
15 lspsncv0OLD.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1612, 13, 14, 15lspsnat 19418 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑦𝑆𝑋𝑉) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
177, 8, 10, 11, 16syl31anc 1492 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = (𝑁‘{𝑋}) ∨ 𝑦 = { 0 }))
1817orcomd 897 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑦 = { 0 } ∨ 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
1918ord 890 . . . . . . 7 (((𝜑𝑦𝑆) ∧ 𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋})) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
2019ex 401 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑆) → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → (¬ 𝑦 = { 0 } → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
2120com23 86 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋}))))
22 npss 3878 . . . . 5 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋}) ↔ (𝑦 ⊆ (𝑁‘{𝑋}) → 𝑦 = (𝑁‘{𝑋})))
2321, 22syl6ibr 243 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑆) → (¬ 𝑦 = { 0 } → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
245, 23syl5 34 . . 3 ((𝜑𝑦𝑆) → ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
2524ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
26 ralinexa 3143 . 2 (∀𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦 → ¬ 𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})) ↔ ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
2725, 26sylib 209 1 (𝜑 → ¬ ∃𝑦𝑆 ({ 0 } ⊊ 𝑦𝑦 ⊊ (𝑁‘{𝑋})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 384   ∨ wo 873   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  ∀wral 3055  ∃wrex 3056   ⊆ wss 3732   ⊊ wpss 3733  {csn 4334  ‘cfv 6068  Basecbs 16130  0gc0g 16366  LSubSpclss 19201  LSpanclspn 19243  LVecclvec 19374 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-0g 16368  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-grp 17692  df-minusg 17693  df-sbg 17694  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-drng 19018  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-lvec 19375 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator