Theorem mgplem 19375

Description: Lemma for mgpbas 19376. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpbas.1	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
mgplem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
mgplem.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
mgplem	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Proof of Theorem mgplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgplem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		mgplem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16624	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		mgplem.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 16623	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 16710	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 3001	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 234	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 16654	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
10		mgpbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
12	10, 11	mgpval 19373	. . 3 ⊢ 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6689	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2765	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑀)

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ⟨cop 4532  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℕcn 11728  2c2 11783  ndxcnx 16595   sSet csts 16596  Slot cslot 16597  +_gcplusg 16680  ._rcmulr 16681  mulGrpcmgp 19370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-1cn 10685  ax-addcl 10687

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-nn 11729  df-2 11791  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-sets 16605  df-plusg 16693  df-mgp 19371

This theorem is referenced by:  mgpbas  19376  mgpsca  19377  mgptset  19378  mgpds  19380