MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mgplem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mgplem 19173
Description: Lemma for mgpbas 19174. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mgpbas.1 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
mgplem.2 𝐸 = Slot 𝑁
mgplem.3 𝑁 ∈ ℕ
mgplem.4 𝑁 ≠ 2
Assertion
Ref Expression
mgplem (𝐸𝑅) = (𝐸𝑀)

Proof of Theorem mgplem
StepHypRef Expression
1 mgplem.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 mgplem.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 16497 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 mgplem.4 . . . 4 𝑁 ≠ 2
51, 2ndxarg 16496 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
6 plusgndx 16583 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
75, 6neeq12i 3079 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
84, 7mpbir 232 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
93, 8setsnid 16527 . 2 (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
10 mgpbas.1 . . . 4 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
11 eqid 2818 . . . 4 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1210, 11mgpval 19171 . . 3 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩)
1312fveq2i 6666 . 2 (𝐸𝑀) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r𝑅)⟩))
149, 13eqtr4i 2844 1 (𝐸𝑅) = (𝐸𝑀)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cop 4563  cfv 6348  (class class class)co 7145  cn 11626  2c2 11680  ndxcnx 16468   sSet csts 16469  Slot cslot 16470  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  mulGrpcmgp 19168
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-1cn 10583  ax-addcl 10585
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-mgp 19169
This theorem is referenced by:  mgpbas  19174  mgpsca  19175  mgptset  19176  mgpds  19178
  Copyright terms: Public domain W3C validator