Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mpt2cti Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpt2cti 30042
 Description: An operation is countable if both its domains are countable. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2cti.1 𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶𝑉
Assertion
Ref Expression
mpt2cti ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ≼ ω)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2cti
StepHypRef Expression
1 mpt2cti.1 . . 3 𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶𝑉
2 eqid 2826 . . . 4 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
32fnmpt2 7502 . . 3 (∀𝑥𝐴𝑦𝐵 𝐶𝑉 → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) Fn (𝐴 × 𝐵))
41, 3ax-mp 5 . 2 (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) Fn (𝐴 × 𝐵)
5 xpct 9153 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × 𝐵) ≼ ω)
6 fnct 9675 . 2 (((𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) Fn (𝐴 × 𝐵) ∧ (𝐴 × 𝐵) ≼ ω) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ≼ ω)
74, 5, 6sylancr 583 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ 𝐵 ≼ ω) → (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶) ≼ ω)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166  ∀wral 3118   class class class wbr 4874   × cxp 5341   Fn wfn 6119   ↦ cmpt2 6908  ωcom 7327   ≼ cdom 8221 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-ac2 9601 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-oi 8685  df-card 9079  df-acn 9082  df-ac 9253 This theorem is referenced by:  dya2iocct  30888
 Copyright terms: Public domain W3C validator