Theorem mpt2ex 7527

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
mpt2ex.1	⊢ 𝐴 ∈ V
mpt2ex.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
mpt2ex	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑦,𝐵

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2ex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpt2ex.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		mpt2ex.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	2	rgenw 3105	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
4		eqid 2777	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
5	4	mpt2exxg 7524	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)
6	1, 3, 5	mp2an 682	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V

Syntax hints:   ∈ wcel 2106  ∀wral 3089  Vcvv 3397   ↦ cmpt2 6924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446

This theorem is referenced by:  qexALT  12111  ruclem13  15375  vdwapfval  16079  prdsco  16514  imasvsca  16566  homffval  16735  comfffval  16743  comffval  16744  comfffn  16749  comfeq  16751  oppccofval  16761  monfval  16777  sectffval  16795  invffval  16803  cofu1st  16928  cofu2nd  16930  cofucl  16933  natfval  16991  fuccofval  17004  fucco  17007  coafval  17099  setcco  17118  catchomfval  17133  catccofval  17135  catcco  17136  estrcco  17155  xpcval  17203  xpchomfval  17205  xpccofval  17208  xpcco  17209  1stf1  17218  1stf2  17219  2ndf1  17221  2ndf2  17222  1stfcl  17223  2ndfcl  17224  prf1  17226  prf2fval  17227  prfcl  17229  prf1st  17230  prf2nd  17231  evlf2  17244  evlf1  17246  evlfcl  17248  curf1fval  17250  curf11  17252  curf12  17253  curf1cl  17254  curf2  17255  curfcl  17258  hof1fval  17279  hof2fval  17281  hofcl  17285  yonedalem3  17306  mgmnsgrpex  17805  sgrpnmndex  17806  grpsubfval  17851  mulgfval  17929  symgplusg  18192  lsmfval  18437  pj1fval  18491  dvrfval  19071  psrmulr  19781  psrvscafval  19787  evlslem2  19908  mamufval  20595  mvmulfval  20753  isphtpy  23188  pcofval  23217  q1pval  24350  r1pval  24353  motplusg  25893  midf  26124  ismidb  26126  ttgval  26224  ebtwntg  26331  ecgrtg  26332  elntg  26333  wwlksnon  27200  wspthsnon  27201  clwwlknonmpt2  27491  vsfval  28060  dipfval  28129  smatfval  30459  lmatval  30477  qqhval  30616  dya2iocuni  30943  sxbrsigalem5  30948  sitmval  31009  signswplusg  31232  reprval  31290  mclsrcl  32057  mclsval  32059  ldualfvs  35274  paddfval  35935  tgrpopr  36885  erngfplus  36940  erngfmul  36943  erngfplus-rN  36948  erngfmul-rN  36951  dvafvadd  37152  dvafvsca  37154  dvaabl  37162  dvhfvadd  37229  dvhfvsca  37238  djafvalN  37272  djhfval  37535  hlhilip  38086  mendplusgfval  38696  mendmulrfval  38698  mendvscafval  38701  hoidmvval  41700  cznrng  42952  cznnring  42953  rngchomfvalALTV  42981  rngccofvalALTV  42984  rngccoALTV  42985  ringchomfvalALTV  43044  ringccofvalALTV  43047  ringccoALTV  43048  rrx2xpreen  43437  lines  43449  spheres  43464