Theorem mpt2exga 7482

Description: If the domain of a function given by maps-to notation is a set, the function is a set. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
mpt2exga	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)   𝑊(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2799	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) = (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶)
2	1	mpt2exg 7481	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 ∈ 𝐵 ↦ 𝐶) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∈ wcel 2157  Vcvv 3385   ↦ cmpt2 6880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402

This theorem is referenced by:  mptmpt2opabbrd  7484  el2mpt2csbcl  7486  bropopvvv  7492  bropfvvvv  7494  prdsip  16436  imasds  16488  setchomfval  17043  setccofval  17046  estrchomfval  17080  estrccofval  17083  lsmvalx  18367  mamuval  20517  mamudm  20519  marrepfval  20692  marrepval0  20693  marrepval  20694  marepvfval  20697  marepvval  20699  submaval0  20712  submaval  20713  maduval  20770  minmar1val0  20779  minmar1val  20780  mat2pmatval  20857  mat2pmatf  20861  m2cpmf  20875  cpm2mval  20883  decpmatval0  20897  decpmatmul  20905  pmatcollpw2lem  20910  pmatcollpw3lem  20916  mply1topmatval  20937  mp2pm2mplem1  20939  xkoptsub  21786  grpodivfval  27914  pstmval  30454  sxsigon  30771  cndprobval  31012  dfrngc2  42771  funcrngcsetc  42797  dfringc2  42817  funcringcsetc  42834  lmod1lem1  43075  lmod1lem2  43076  lmod1lem3  43077  lmod1lem4  43078  lmod1lem5  43079