MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mpt2exxg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mpt2exxg 7478
Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
mpt2exg.1 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
mpt2exxg ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑦,𝐵
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem mpt2exxg
StepHypRef Expression
1 mpt2exg.1 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐵𝐶)
21mpt2fun 6994 . 2 Fun 𝐹
31dmmpt2ssx 7469 . . 3 dom 𝐹 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
4 snex 5097 . . . . . 6 {𝑥} ∈ V
5 xpexg 7192 . . . . . 6 (({𝑥} ∈ V ∧ 𝐵𝑆) → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
64, 5mpan 682 . . . . 5 (𝐵𝑆 → ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
76ralimi 3131 . . . 4 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑆 → ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
8 iunexg 7375 . . . 4 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
97, 8sylan2 587 . . 3 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V)
10 ssexg 4997 . . 3 ((dom 𝐹 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∧ 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) ∈ V) → dom 𝐹 ∈ V)
113, 9, 10sylancr 582 . 2 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → dom 𝐹 ∈ V)
12 funex 6709 . 2 ((Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ∈ V) → 𝐹 ∈ V)
132, 11, 12sylancr 582 1 ((𝐴𝑅 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑆) → 𝐹 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  Vcvv 3383  wss 3767  {csn 4366   ciun 4708   × cxp 5308  dom cdm 5310  Fun wfun 6093  cmpt2 6878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-1st 7399  df-2nd 7400
This theorem is referenced by:  mpt2exg  7479  mpt2ex  7481  gsum2d2lem  18683  taylfval  24450  ptrest  33888
  Copyright terms: Public domain W3C validator