Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nbgrelOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nbgrelOLD 26527
 Description: Obsolete version of nbgrel 26526 as of 12-Feb-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens and Mario Carneiro, 9-Oct-2017.) (Revised by AV, 26-Oct-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nbgrelOLD.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
nbgrelOLD.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
nbgrelOLD (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
Distinct variable groups:   𝑒,𝐸   𝑒,𝐺   𝑒,𝐾   𝑒,𝑁   𝑒,𝑉
Allowed substitution hint:   𝑊(𝑒)

Proof of Theorem nbgrelOLD
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nbgrclOLD 26521 . . . . 5 (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))
2 nbgrelOLD.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31, 2syl6eleqr 2855 . . . 4 (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁𝑉)
43a1i 11 . . 3 (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) → 𝑁𝑉))
54pm4.71rd 558 . 2 (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝑁𝑉𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁))))
6 nbgrelOLD.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Edg‘𝐺)
72, 6nbgrval 26522 . . . . . . 7 (𝑁𝑉 → (𝐺 NeighbVtx 𝑁) = {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒})
87eleq2d 2830 . . . . . 6 (𝑁𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ 𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒}))
9 preq2 4426 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝐾 → {𝑁, 𝑘} = {𝑁, 𝐾})
109sseq1d 3794 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → ({𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
1110rexbidv 3199 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝐾 → (∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒 ↔ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
1211elrab 3521 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
13 eldifsn 4474 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ↔ (𝐾𝑉𝐾𝑁))
1413anbi1i 617 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾𝑉𝐾𝑁) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
15 anass 460 . . . . . . 7 (((𝐾𝑉𝐾𝑁) ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
1612, 14, 153bitri 288 . . . . . 6 (𝐾 ∈ {𝑘 ∈ (𝑉 ∖ {𝑁}) ∣ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝑘} ⊆ 𝑒} ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
178, 16syl6bb 278 . . . . 5 (𝑁𝑉 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
1817adantl 473 . . . 4 ((𝐺𝑊𝑁𝑉) → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
1918pm5.32da 574 . . 3 (𝐺𝑊 → ((𝑁𝑉𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ (𝑁𝑉 ∧ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))))
20 3anass 1116 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
21 ancom 452 . . . . 5 ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ↔ (𝑁𝑉𝐾𝑉))
2221anbi1i 617 . . . 4 (((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ ((𝑁𝑉𝐾𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
23 anass 460 . . . 4 (((𝑁𝑉𝐾𝑉) ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)) ↔ (𝑁𝑉 ∧ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))))
2420, 22, 233bitrri 289 . . 3 ((𝑁𝑉 ∧ (𝐾𝑉 ∧ (𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒))
2519, 24syl6bb 278 . 2 (𝐺𝑊 → ((𝑁𝑉𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁)) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
265, 25bitrd 270 1 (𝐺𝑊 → (𝐾 ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑁) ↔ ((𝐾𝑉𝑁𝑉) ∧ 𝐾𝑁 ∧ ∃𝑒𝐸 {𝑁, 𝐾} ⊆ 𝑒)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ≠ wne 2937  ∃wrex 3056  {crab 3059   ∖ cdif 3731   ⊆ wss 3734  {csn 4336  {cpr 4338  ‘cfv 6070  (class class class)co 6846  Vtxcvtx 26179  Edgcedg 26230   NeighbVtx cnbgr 26517 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-nbgr 26518 This theorem is referenced by:  nbgrisvtxOLD  26530  nbgrsymOLD  26557
 Copyright terms: Public domain W3C validator