Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnacda Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnacda 9311
 Description: The cardinal and ordinal sums of finite ordinals are equal. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
nnacda ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +𝑐 𝐵)) = (𝐴 +𝑜 𝐵))

Proof of Theorem nnacda
StepHypRef Expression
1 nnon 7305 . . . 4 (𝐴 ∈ ω → 𝐴 ∈ On)
2 nnon 7305 . . . 4 (𝐵 ∈ ω → 𝐵 ∈ On)
3 onacda 9307 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵))
41, 2, 3syl2an 590 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵))
5 carden2b 9079 . . 3 ((𝐴 +𝑜 𝐵) ≈ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (card‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = (card‘(𝐴 +𝑐 𝐵)))
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = (card‘(𝐴 +𝑐 𝐵)))
7 nnacl 7931 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω)
8 cardnn 9075 . . 3 ((𝐴 +𝑜 𝐵) ∈ ω → (card‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
97, 8syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +𝑜 𝐵)) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
106, 9eqtr3d 2835 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (card‘(𝐴 +𝑐 𝐵)) = (𝐴 +𝑜 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   class class class wbr 4843  Oncon0 5941  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ωcom 7299   +𝑜 coa 7796   ≈ cen 8192  cardccrd 9047   +𝑐 ccda 9277 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278 This theorem is referenced by:  ackbij1lem5  9334  ackbij1lem9  9338
 Copyright terms: Public domain W3C validator