Theorem numclwwlk1lem2OLDOLD 27783

Description: Obsolete version of numclwwlk1lem2 27781 as of 31-Jul-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Jul-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Revised by AV, 6-Mar-2022.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
extwwlkfab.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c	⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f	⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk1lem2OLDOLD	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑓 𝑓:(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹,𝑓   𝐶,𝑓   𝑓,𝐹   𝑓,𝐺   𝑓,𝑁   𝑓,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2OLDOLD

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6954	. . 3 ⊢ (𝑋𝐶𝑁) ∈ V
2		nfcv 2934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝑋
3		extwwlkfab.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
4		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤𝑉
5		nfcv 2934	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤(ℤ≥‘2)
6		nfrab1 3309	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑤{𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}
7	4, 5, 6	nfmpt2 7001	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑣 ∈ 𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ≥‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
8	3, 7	nfcxfr 2932	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝐶
9		nfcv 2934	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑤𝑁
10	2, 8, 9	nfov 6952	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤(𝑋𝐶𝑁)
11	10	mptexgf 6757	. . 3 ⊢ ((𝑋𝐶𝑁) ∈ V → (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩) ∈ V)
12	1, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩) ∈ V
13		extwwlkfab.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
14		extwwlkfab.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
15		nfcv 2934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢(𝑋𝐶𝑁)
16		nfcv 2934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑢⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩
17		nfcv 2934	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑤⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩
18		oveq1 6929	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
19		fveq1 6445	. . . . 5 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → (𝑤‘(𝑁 − 1)) = (𝑢‘(𝑁 − 1)))
20	18, 19	opeq12d 4644	. . . 4 ⊢ (𝑤 = 𝑢 → ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
21	10, 15, 16, 17, 20	cbvmptf 4983	. . 3 ⊢ (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩) = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
22	13, 3, 14, 21	numclwwlk1lem2f1oOLD 27780	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩):(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
23		f1oeq1 6380	. . 3 ⊢ (𝑓 = (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩) → (𝑓:(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩):(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
24	23	spcegv 3496	. 2 ⊢ ((𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩) ∈ V → ((𝑤 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑤 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑤‘(𝑁 − 1))⟩):(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) → ∃𝑓 𝑓:(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋))))
25	12, 22, 24	mpsyl 68	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘3)) → ∃𝑓 𝑓:(𝑋𝐶𝑁)–1-1-onto→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398  ⟨cop 4404   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353  –1-1-onto→wf1o 6134  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  0cc0 10272  1c1 10273   − cmin 10606  2c2 11430  3c3 11431  ℤ_≥cuz 11992   substr csubstr 13730  Vtxcvtx 26344  USGraphcusgr 26498   NeighbVtx cnbgr 26679  ClWWalksNOncclwwlknon 27489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-2o 7844  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-cda 9325  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-n0 11643  df-xnn0 11715  df-z 11729  df-uz 11993  df-rp 12138  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-lsw 13653  df-concat 13661  df-s1 13686  df-substr 13731  df-pfx 13780  df-s2 13999  df-edg 26396  df-upgr 26430  df-umgr 26431  df-usgr 26500  df-nbgr 26680  df-wwlks 27179  df-wwlksn 27180  df-clwwlk 27362  df-clwwlkn 27414  df-clwwlknon 27490

This theorem is referenced by: (None)