MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numclwwlk1lem2f1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numclwwlk1lem2f1OLD 27723
Description: Obsolete version of numclwwlk1lem2f1 27718 as of 12-Oct-2022. (Contributed by AV, 26-Sep-2018.) (Revised by AV, 29-May-2021.) (Proof shortened by AV, 23-Feb-2022.) (Revised by AV, 6-Mar-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
extwwlkfab.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
extwwlkfab.c 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
extwwlkfab.f 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
numclwwlkOLD.t 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk1lem2f1OLD ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐺,𝑣,𝑤   𝑛,𝑁,𝑣,𝑤   𝑛,𝑉,𝑣,𝑤   𝑛,𝑋,𝑣,𝑤   𝑤,𝐹   𝑢,𝐶   𝑢,𝐹   𝑢,𝐺,𝑤   𝑢,𝑁   𝑢,𝑉   𝑢,𝑋   𝑢,𝑇
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑤,𝑣,𝑛)   𝑇(𝑤,𝑣,𝑛)   𝐹(𝑣,𝑛)

Proof of Theorem numclwwlk1lem2f1OLD
Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 extwwlkfab.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 extwwlkfab.c . . 3 𝐶 = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
3 extwwlkfab.f . . 3 𝐹 = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
4 numclwwlkOLD.t . . 3 𝑇 = (𝑢 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↦ ⟨(𝑢 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑢‘(𝑁 − 1))⟩)
51, 2, 3, 4numclwwlk1lem2fOLD 27721 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
61, 2, 3, 4numclwwlk1lem2fvOLD 27722 . . . . . 6 (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
76ad2antrl 720 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇𝑝) = ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩)
81, 2, 3, 4numclwwlk1lem2fvOLD 27722 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) → (𝑇𝑎) = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
98ad2antll 721 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (𝑇𝑎) = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩)
107, 9eqeq12d 2814 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇𝑝) = (𝑇𝑎) ↔ ⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩))
11 ovex 6910 . . . . . 6 (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∈ V
12 fvex 6424 . . . . . 6 (𝑝‘(𝑁 − 1)) ∈ V
1311, 12opth 5135 . . . . 5 (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ ↔ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))))
14 uzuzle23 11973 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
1522clwwlkel 27703 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
16 isclwwlknon 27428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋))
1716anbi1i 618 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
1815, 17syl6bb 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
1922clwwlkel 27703 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
20 isclwwlknon 27428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ↔ (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋))
2120anbi1i 618 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
2219, 21syl6bb 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ↔ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)))
2318, 22anbi12d 625 . . . . . . . . 9 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
2414, 23sylan2 587 . . . . . . . 8 ((𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
25243adant1 1161 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) ↔ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))))
261clwwlknbp 27342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
2726adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
2827adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁))
29 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (𝑝‘0) = 𝑋)
3029adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘0) = 𝑋)
31 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
3229eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑝‘0))
3332adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑝‘0))
3431, 33eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))
3528, 30, 34jca32 512 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))))
361clwwlknbp 27342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
3736adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
3837adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁))
39 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎‘0) = 𝑋)
4039adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘0) = 𝑋)
41 simpr 478 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
4239eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘0))
4342adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘0))
4441, 43eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))
4538, 40, 44jca32 512 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))))
46 eqtr3 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑝) = 𝑁 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
4746expcom 403 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑎) = 𝑁 → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
4847ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
4948com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
5049ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) → (((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎)))
5150imp 396 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) ∧ ((𝑝‘0) = 𝑋 ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = (𝑝‘0))) ∧ ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) ∧ ((𝑎‘0) = 𝑋 ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘0)))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
5235, 45, 51syl2an 590 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
53523ad2ant2 1165 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (♯‘𝑝) = (♯‘𝑎))
5427simprd 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
5554adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
5655eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑁 = (♯‘𝑝))
5756adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑁 = (♯‘𝑝))
5857oveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 − 2) = ((♯‘𝑝) − 2))
5958opeq2d 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ⟨0, (𝑁 − 2)⟩ = ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩)
6059oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑝 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩))
6159oveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩))
6260, 61eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ↔ (𝑝 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩)))
6362biimpcd 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩)))
6463adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩)))
6564impcom 397 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩))
6655oveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → ((♯‘𝑝) − 2) = (𝑁 − 2))
6766fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑝‘(𝑁 − 2)))
6867, 31eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
6968adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = 𝑋)
7041eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) → 𝑋 = (𝑎‘(𝑁 − 2)))
7170adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑎‘(𝑁 − 2)))
7258fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎‘(𝑁 − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
7371, 72eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑋 = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
7469, 73eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
7574adantr 473 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)))
76 lsw 13584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑝 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘((♯‘𝑝) − 1)))
77 fvoveq1 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (𝑝‘((♯‘𝑝) − 1)) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
7876, 77sylan9eq 2853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑝) = 𝑁) → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
7926, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (lastS‘𝑝) = (𝑝‘(𝑁 − 1)))
8079eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑝))
8180ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑝))
82 lsw 13584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑎 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
8382adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
84 oveq1 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 = (♯‘𝑎) → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑎) − 1))
8584eqcoms 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝑎) = 𝑁 → (𝑁 − 1) = ((♯‘𝑎) − 1))
8685fveq2d 6415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑎) = 𝑁 → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1)))
8786eqeq2d 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑎) = 𝑁 → ((lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1))))
8887adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → ((lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑎) = (𝑎‘((♯‘𝑎) − 1))))
8983, 88mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑎) = 𝑁) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
9036, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (lastS‘𝑎) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))
9190eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
9291adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
9392ad2antrl 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑎‘(𝑁 − 1)) = (lastS‘𝑎))
9481, 93eqeq12d 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) ↔ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
9594biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → ((𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
9695adantld 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
9796imp 396 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎))
9865, 75, 973jca 1159 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
99983adant1 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → ((𝑝 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))
1001clwwlknwrd 27341 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
101100ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
1021013ad2ant2 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑝 ∈ Word 𝑉)
1031clwwlknwrd 27341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
104103adantr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
105104ad2antrl 720 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
1061053ad2ant2 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑎 ∈ Word 𝑉)
107 clwwlknlen 27339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (♯‘𝑝) = 𝑁)
108 eluz2b1 12004 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 1 < 𝑁))
109 breq2 4847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 = (♯‘𝑝) → (1 < 𝑁 ↔ 1 < (♯‘𝑝)))
110109eqcoms 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑝) = 𝑁 → (1 < 𝑁 ↔ 1 < (♯‘𝑝)))
111110biimpcd 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1 < 𝑁 → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (♯‘𝑝)))
112108, 111simplbiim 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → ((♯‘𝑝) = 𝑁 → 1 < (♯‘𝑝)))
11314, 107, 112syl2imc 41 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (♯‘𝑝)))
114113ad3antrrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 < (♯‘𝑝)))
115114impcom 397 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))) → 1 < (♯‘𝑝))
1161153adant3 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 1 < (♯‘𝑝))
117102, 106, 1163jca 1159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝 ∈ Word 𝑉𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑝)))
118 2swrd2eqwrdeqOLD 14039 . . . . . . . . . . 11 ((𝑝 ∈ Word 𝑉𝑎 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑝)) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((♯‘𝑝) = (♯‘𝑎) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))))
119117, 118syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → (𝑝 = 𝑎 ↔ ((♯‘𝑝) = (♯‘𝑎) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, ((♯‘𝑝) − 2)⟩) ∧ (𝑝‘((♯‘𝑝) − 2)) = (𝑎‘((♯‘𝑝) − 2)) ∧ (lastS‘𝑝) = (lastS‘𝑎)))))
12053, 99, 119mpbir2and 705 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ (ℤ‘3) ∧ (((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) ∧ ((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1)))) → 𝑝 = 𝑎)
1211203exp 1149 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
1221213ad2ant3 1166 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑝 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑝‘0) = 𝑋) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 2)) = 𝑋) ∧ ((𝑎 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑎‘0) = 𝑋) ∧ (𝑎‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
12325, 122sylbid 232 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎)))
124123imp 396 . . . . 5 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (((𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = (𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) ∧ (𝑝‘(𝑁 − 1)) = (𝑎‘(𝑁 − 1))) → 𝑝 = 𝑎))
12513, 124syl5bi 234 . . . 4 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → (⟨(𝑝 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑝‘(𝑁 − 1))⟩ = ⟨(𝑎 substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩), (𝑎‘(𝑁 − 1))⟩ → 𝑝 = 𝑎))
12610, 125sylbid 232 . . 3 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) ∧ (𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁) ∧ 𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁))) → ((𝑇𝑝) = (𝑇𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
127126ralrimivva 3152 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇𝑝) = (𝑇𝑎) → 𝑝 = 𝑎))
128 dff13 6740 . 2 (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ↔ (𝑇:(𝑋𝐶𝑁)⟶(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)) ∧ ∀𝑝 ∈ (𝑋𝐶𝑁)∀𝑎 ∈ (𝑋𝐶𝑁)((𝑇𝑝) = (𝑇𝑎) → 𝑝 = 𝑎)))
1295, 127, 128sylanbrc 579 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑇:(𝑋𝐶𝑁)–1-1→(𝐹 × (𝐺 NeighbVtx 𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  {crab 3093  cop 4374   class class class wbr 4843  cmpt 4922   × cxp 5310  wf 6097  1-1wf1 6098  cfv 6101  (class class class)co 6878  cmpt2 6880  0cc0 10224  1c1 10225   < clt 10363  cmin 10556  2c2 11368  3c3 11369  cz 11666  cuz 11930  chash 13370  Word cword 13534  lastSclsw 13582   substr csubstr 13664  Vtxcvtx 26231  USGraphcusgr 26385   NeighbVtx cnbgr 26566   ClWWalksN cclwwlkn 27326  ClWWalksNOncclwwlknon 27423
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-xnn0 11653  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-lsw 13583  df-concat 13591  df-s1 13616  df-substr 13665  df-pfx 13714  df-s2 13933  df-edg 26283  df-upgr 26317  df-umgr 26318  df-usgr 26387  df-nbgr 26567  df-wwlks 27081  df-wwlksn 27082  df-clwwlk 27275  df-clwwlkn 27328  df-clwwlknon 27424
This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2f1oOLD  27725
  Copyright terms: Public domain W3C validator