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Theorem numclwwlk1lem2foalemOLD 27709
Description: Obsolete version of numclwwlk1lem2foalem 27708 as of 12-Oct-2022. (Contributed by AV, 29-May-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk1lem2foalemOLD (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))

Proof of Theorem numclwwlk1lem2foalemOLD
StepHypRef Expression
1 simpl 475 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 s1cl 13622 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉 → ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉)
3 s1cl 13622 . . . . . . . 8 (𝑌𝑉 → ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉)
41, 2, 33anim123i 1191 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉))
543expb 1150 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉))
6 ccatass 13608 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑌”⟩ ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) = (𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)))
87oveq1d 6893 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩))
91adantr 473 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
10 ccat2s1cl 13638 . . . . . 6 ((𝑋𝑉𝑌𝑉) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
1110adantl 474 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉)
12 simpr 478 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2))
1312eqcomd 2805 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑊))
1413adantr 473 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑁 − 2) = (♯‘𝑊))
15 swrdccatidOLD 13809 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑁 − 2) = (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊)
169, 11, 14, 15syl3anc 1491 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑊 ++ (⟨“𝑋”⟩ ++ ⟨“𝑌”⟩)) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊)
178, 16eqtrd 2833 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊)
18173adant3 1163 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊)
19 1e2m1 11447 . . . . . . 7 1 = (2 − 1)
2019oveq2i 6889 . . . . . 6 (𝑁 − 1) = (𝑁 − (2 − 1))
21 eluzelcn 11942 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ ℂ)
22 2cnd 11391 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 2 ∈ ℂ)
23 1cnd 10323 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 1 ∈ ℂ)
2421, 22, 23subsubd 10712 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − (2 − 1)) = ((𝑁 − 2) + 1))
2520, 24syl5eq 2845 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
26253ad2ant3 1166 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑁 − 1) = ((𝑁 − 2) + 1))
2726fveq2d 6415 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)))
28 ccatw2s1p2 13661 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑌)
29283adant3 1163 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘((𝑁 − 2) + 1)) = 𝑌)
3027, 29eqtrd 2833 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌)
31 ccatw2s1p1 13660 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
32313adant3 1163 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋)
3318, 30, 323jca 1159 1 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 − 2)) ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → ((((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩) substr ⟨0, (𝑁 − 2)⟩) = 𝑊 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 1)) = 𝑌 ∧ (((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)‘(𝑁 − 2)) = 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cop 4374  cfv 6101  (class class class)co 6878  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227  cmin 10556  2c2 11368  3c3 11369  cuz 11930  chash 13370  Word cword 13534   ++ cconcat 13590  ⟨“cs1 13615   substr csubstr 13664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-s1 13616  df-substr 13665
This theorem is referenced by:  numclwwlk1lem2foaOLD  27715
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