Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opmpt2ismgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opmpt2ismgm 42822
 Description: A structure with a group addition operation in maps-to notation is a magma if the operation value is contained in the base set. (Contributed by AV, 16-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
opmpt2ismgm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
opmpt2ismgm.p (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
opmpt2ismgm.n (𝜑𝐵 ≠ ∅)
opmpt2ismgm.c ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶𝐵)
Assertion
Ref Expression
opmpt2ismgm (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝑀   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥,𝑦)   𝑀(𝑦)

Proof of Theorem opmpt2ismgm
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opmpt2ismgm.c . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐶𝐵)
21ralrimivva 3153 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵)
32adantr 474 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵)
4 simprl 761 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑎𝐵)
5 simprr 763 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → 𝑏𝐵)
6 eqid 2778 . . . . 5 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
76ovmpt2elrn 7521 . . . 4 ((∀𝑥𝐵𝑦𝐵 𝐶𝐵𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
83, 4, 5, 7syl3anc 1439 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
98ralrimivva 3153 . 2 (𝜑 → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵)
10 opmpt2ismgm.n . . 3 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
11 n0 4159 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑒 𝑒𝐵)
12 opmpt2ismgm.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑀)
13 opmpt2ismgm.p . . . . . . 7 (+g𝑀) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)
1413eqcomi 2787 . . . . . 6 (𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶) = (+g𝑀)
1512, 14ismgmn0 17630 . . . . 5 (𝑒𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1615exlimiv 1973 . . . 4 (∃𝑒 𝑒𝐵 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1711, 16sylbi 209 . . 3 (𝐵 ≠ ∅ → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
1810, 17syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑀 ∈ Mgm ↔ ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 (𝑎(𝑥𝐵, 𝑦𝐵𝐶)𝑏) ∈ 𝐵))
199, 18mpbird 249 1 (𝜑𝑀 ∈ Mgm)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1601  ∃wex 1823   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∅c0 4141  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  Mgmcmgm 17626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-mgm 17628 This theorem is referenced by:  copissgrp  42823
 Copyright terms: Public domain W3C validator