MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovmpt2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ovmpt2a 7031
Description: Value of an operation given by a maps-to rule. (Contributed by NM, 19-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ovmpt2ga.1 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
ovmpt2ga.2 𝐹 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐷𝑅)
ovmpt2a.4 𝑆 ∈ V
Assertion
Ref Expression
ovmpt2a ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦   𝑥,𝐷,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem ovmpt2a
StepHypRef Expression
1 ovmpt2a.4 . 2 𝑆 ∈ V
2 ovmpt2ga.1 . . 3 ((𝑥 = 𝐴𝑦 = 𝐵) → 𝑅 = 𝑆)
3 ovmpt2ga.2 . . 3 𝐹 = (𝑥𝐶, 𝑦𝐷𝑅)
42, 3ovmpt2ga 7030 . 2 ((𝐴𝐶𝐵𝐷𝑆 ∈ V) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
51, 4mp3an3 1567 1 ((𝐴𝐶𝐵𝐷) → (𝐴𝐹𝐵) = 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  Vcvv 3402  (class class class)co 6884  cmpt2 6886
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pr 5109
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ral 3112  df-rex 3113  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-br 4856  df-opab 4918  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fv 6119  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889
This theorem is referenced by:  1st2val  7436  2nd2val  7437  cantnffval  8817  cantnfsuc  8824  fseqenlem1  9140  xaddval  12292  xmulval  12294  fzoval  12715  expval  13105  ccatfval  13590  splcl  13747  cshfn  13780  bpolylem  15019  ruclem1  15200  sadfval  15413  sadcp1  15416  smufval  15438  smupp1  15441  eucalgval2  15533  pcval  15786  pc0  15796  vdwapval  15914  pwsval  16371  xpsfval  16452  xpsval  16457  rescval  16711  isfunc  16748  isfull  16794  isfth  16798  natfval  16830  catcisolem  16980  xpchom  17045  1stfval  17056  2ndfval  17059  yonedalem3a  17139  yonedainv  17146  plusfval  17473  ismhm  17562  mulgval  17768  eqgfval  17864  isga  17945  subgga  17954  cayleylem1  18053  sylow1lem2  18235  isslw  18244  sylow2blem1  18256  sylow3lem1  18263  sylow3lem6  18268  frgpuptinv  18405  frgpup2  18410  isrhm  18945  scafval  19106  islmhm  19254  psrmulfval  19614  mplval  19657  ltbval  19700  mpfrcl  19746  evlsval  19747  evlval  19752  xrsdsval  20018  ipfval  20224  dsmmval  20309  matval  20448  submafval  20617  mdetfval  20624  minmar1fval  20684  txval  21602  xkoval  21625  hmeofval  21796  flffval  22027  qustgplem  22158  dscmet  22611  dscopn  22612  tngval  22677  nmofval  22752  nghmfval  22760  isnmhm  22784  htpyco1  23011  htpycc  23013  phtpycc  23024  reparphti  23030  pcoval  23044  pcohtpylem  23052  pcorevlem  23059  dyadval  23596  itg1addlem3  23702  itg1addlem4  23703  mbfi1fseqlem3  23721  mbfi1fseqlem4  23722  mbfi1fseqlem5  23723  mbfi1fseqlem6  23724  mdegfval  24059  quotval  24284  elqaalem2  24312  cxpval  24647  cxpcn3  24726  angval  24768  sgmval  25105  lgsval  25263  wspthsn  26993  rusgrnumwwlklem  27135  clwwlkn  27194  2clwwlk  27547  numclwwlkovgOLD  27551  numclwwlkovh0  27575  numclwwlkovq  27577  numclwwlkovhOLD  27585  shsval  28522  sshjval  28560  faeval  30657  txsconnlem  31567  cvxsconn  31570  iscvm  31586  cvmliftlem5  31616  rngohomval  34093  rngoisoval  34106  rmxfval  37988  rmyfval  37989  mendplusg  38275  mendvsca  38280  addrval  39186  subrval  39187  mulvval  39188  sigarval  41539  ismgmhm  42369  dmatALTval  42775
  Copyright terms: Public domain W3C validator