MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pilem3OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pilem3OLD 24429
Description: Obsolete proof of pilem3 24428 as of 30-Jun-2022. (Contributed by Paul Chapman, 23-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
pilem3OLD (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)

Proof of Theorem pilem3OLD
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11293 . . . . 5 2 ∈ ℝ
21a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 ∈ ℝ)
3 4re 11300 . . . . 5 4 ∈ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (⊤ → 4 ∈ ℝ)
5 0re 10243 . . . . 5 0 ∈ ℝ
65a1i 11 . . . 4 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
7 2lt4 11401 . . . . 5 2 < 4
87a1i 11 . . . 4 (⊤ → 2 < 4)
9 iccssre 12461 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℝ) → (2[,]4) ⊆ ℝ)
101, 3, 9mp2an 666 . . . . . 6 (2[,]4) ⊆ ℝ
11 ax-resscn 10196 . . . . . 6 ℝ ⊆ ℂ
1210, 11sstri 3762 . . . . 5 (2[,]4) ⊆ ℂ
1312a1i 11 . . . 4 (⊤ → (2[,]4) ⊆ ℂ)
14 sincn 24419 . . . . 5 sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
1514a1i 11 . . . 4 (⊤ → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
1610sseli 3749 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (2[,]4) → 𝑦 ∈ ℝ)
1716resincld 15080 . . . . 5 (𝑦 ∈ (2[,]4) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
1817adantl 467 . . . 4 ((⊤ ∧ 𝑦 ∈ (2[,]4)) → (sin‘𝑦) ∈ ℝ)
19 sin4lt0 15132 . . . . . 6 (sin‘4) < 0
20 sincos2sgn 15131 . . . . . . 7 (0 < (sin‘2) ∧ (cos‘2) < 0)
2120simpli 470 . . . . . 6 0 < (sin‘2)
2219, 21pm3.2i 447 . . . . 5 ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2))
2322a1i 11 . . . 4 (⊤ → ((sin‘4) < 0 ∧ 0 < (sin‘2)))
242, 4, 6, 8, 13, 15, 18, 23ivth2 23444 . . 3 (⊤ → ∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0)
2524trud 1641 . 2 𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0
26 df-pi 15010 . . . . . . 7 π = inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < )
27 elioore 12411 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (2(,)4) → 𝑥 ∈ ℝ)
2827adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ)
295a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 ∈ ℝ)
301a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 ∈ ℝ)
31 2pos 11315 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
3231a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 2)
33 eliooord 12439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (2(,)4) → (2 < 𝑥𝑥 < 4))
3433simpld 478 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (2(,)4) → 2 < 𝑥)
3534adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 2 < 𝑥)
3629, 30, 28, 32, 35lttrd 10401 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 0 < 𝑥)
3728, 36elrpd 12073 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℝ+)
38 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘𝑥) = 0)
39 pilem1 24426 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑥) = 0))
4037, 38, 39sylanbrc 566 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
41 inss1 3982 . . . . . . . . . 10 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ+
42 rpssre 12047 . . . . . . . . . 10 + ⊆ ℝ
4341, 42sstri 3762 . . . . . . . . 9 (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ
4441sseli 3749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 𝑧 ∈ ℝ+)
4544rpge0d 12080 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → 0 ≤ 𝑧)
4645rgen 3071 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑧
47 breq1 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 0 → (𝑦𝑧 ↔ 0 ≤ 𝑧))
4847ralbidv 3135 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 0 → (∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧 ↔ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑧))
4948rspcev 3461 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))0 ≤ 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧)
505, 46, 49mp2an 666 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧
51 infrelb 11211 . . . . . . . . 9 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
5243, 50, 51mp3an12 1562 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
5340, 52syl 17 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ≤ 𝑥)
5426, 53syl5eqbr 4822 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ≤ 𝑥)
55 simplll 752 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
56 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})))
57 pilem1 24426 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ↔ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
5856, 57sylib 208 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ (sin‘𝑦) = 0))
5958simpld 478 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → 𝑦 ∈ ℝ+)
60 simpllr 754 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → (sin‘𝑥) = 0)
6158simprd 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → (sin‘𝑦) = 0)
6255, 59, 60, 61pilem2 24427 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) ∧ 𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
6362ralrimiva 3115 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦)
6443a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ)
65 ne0i 4070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
6640, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
6766adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅)
6850a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧)
69 infrecl 11208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
7043, 50, 69mp3an13 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
7166, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ∈ ℝ)
7226, 71syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℝ)
7372, 28readdcld 10272 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
7473adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (π + 𝑥) ∈ ℝ)
7574rehalfcld 11482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ)
76 infregelb 11210 . . . . . . . . . . . 12 ((((ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ⊆ ℝ ∧ (ℝ+ ∩ (sin “ {0})) ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))𝑦𝑧) ∧ ((π + 𝑥) / 2) ∈ ℝ) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
7764, 67, 68, 75, 76syl31anc 1479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ) ↔ ∀𝑦 ∈ (ℝ+ ∩ (sin “ {0}))((π + 𝑥) / 2) ≤ 𝑦))
7863, 77mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ inf((ℝ+ ∩ (sin “ {0})), ℝ, < ))
7978, 26syl6breqr 4829 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) ∧ π < 𝑥) → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π)
8079ex 397 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π < 𝑥 → ((π + 𝑥) / 2) ≤ π))
8172, 28ltnled 10387 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π < 𝑥 ↔ ¬ 𝑥 ≤ π))
8272recnd 10271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ ℂ)
8328recnd 10271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ ℂ)
8482, 83addcomd 10441 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π + 𝑥) = (𝑥 + π))
8584oveq1d 6809 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → ((π + 𝑥) / 2) = ((𝑥 + π) / 2))
8685breq1d 4797 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
87 avgle2 11476 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
8828, 72, 87syl2anc 567 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (𝑥 ≤ π ↔ ((𝑥 + π) / 2) ≤ π))
8986, 88bitr4d 271 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (((π + 𝑥) / 2) ≤ π ↔ 𝑥 ≤ π))
9080, 81, 893imtr3d 282 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (¬ 𝑥 ≤ π → 𝑥 ≤ π))
9190pm2.18d 125 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ≤ π)
9272, 28letri3d 10382 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π = 𝑥 ↔ (π ≤ 𝑥𝑥 ≤ π)))
9354, 91, 92mpbir2and 686 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π = 𝑥)
94 simpl 468 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → 𝑥 ∈ (2(,)4))
9593, 94eqeltrd 2850 . . . 4 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → π ∈ (2(,)4))
9693fveq2d 6337 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = (sin‘𝑥))
9796, 38eqtrd 2805 . . . 4 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (sin‘π) = 0)
9895, 97jca 497 . . 3 ((𝑥 ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘𝑥) = 0) → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
9998rexlimiva 3176 . 2 (∃𝑥 ∈ (2(,)4)(sin‘𝑥) = 0 → (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0))
10025, 99ax-mp 5 1 (π ∈ (2(,)4) ∧ (sin‘π) = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wtru 1632  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  wrex 3062  cin 3723  wss 3724  c0 4064  {csn 4317   class class class wbr 4787  ccnv 5249  cima 5253  cfv 6032  (class class class)co 6794  infcinf 8504  cc 10137  cr 10138  0cc0 10139   + caddc 10142   < clt 10277  cle 10278   / cdiv 10887  2c2 11273  4c4 11275  +crp 12036  (,)cioo 12381  [,]cicc 12384  sincsin 15001  cosccos 15002  πcpi 15004  cnccncf 22900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217  ax-addf 10218  ax-mulf 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-isom 6041  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-of 7045  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-supp 7448  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-1o 7714  df-2o 7715  df-oadd 7718  df-er 7897  df-map 8012  df-pm 8013  df-ixp 8064  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-fin 8114  df-fsupp 8433  df-fi 8474  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8966  df-cda 9193  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-4 11284  df-5 11285  df-6 11286  df-7 11287  df-8 11288  df-9 11289  df-n0 11496  df-z 11581  df-dec 11697  df-uz 11890  df-q 11993  df-rp 12037  df-xneg 12152  df-xadd 12153  df-xmul 12154  df-ioo 12385  df-ioc 12386  df-ico 12387  df-icc 12388  df-fz 12535  df-fzo 12675  df-fl 12802  df-seq 13010  df-exp 13069  df-fac 13266  df-bc 13295  df-hash 13323  df-shft 14016  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-limsup 14411  df-clim 14428  df-rlim 14429  df-sum 14626  df-ef 15005  df-sin 15007  df-cos 15008  df-pi 15010  df-struct 16067  df-ndx 16068  df-slot 16069  df-base 16071  df-sets 16072  df-ress 16073  df-plusg 16163  df-mulr 16164  df-starv 16165  df-sca 16166  df-vsca 16167  df-ip 16168  df-tset 16169  df-ple 16170  df-ds 16173  df-unif 16174  df-hom 16175  df-cco 16176  df-rest 16292  df-topn 16293  df-0g 16311  df-gsum 16312  df-topgen 16313  df-pt 16314  df-prds 16317  df-xrs 16371  df-qtop 16376  df-imas 16377  df-xps 16379  df-mre 16455  df-mrc 16456  df-acs 16458  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-submnd 17545  df-mulg 17750  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-psmet 19954  df-xmet 19955  df-met 19956  df-bl 19957  df-mopn 19958  df-fbas 19959  df-fg 19960  df-cnfld 19963  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23851  df-dv 23852
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator