Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  psgnunilem5OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem psgnunilem5OLD 18265
 Description: Obsolete version of psgnunilem5 18264 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Feb-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
psgnunilem2.g 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
psgnunilem2.t 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
psgnunilem2.d (𝜑𝐷𝑉)
psgnunilem2.w (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
psgnunilem2.id (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
psgnunilem2.l (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
psgnunilem2.ix (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
psgnunilem2.a (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
psgnunilem2.al (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
Assertion
Ref Expression
psgnunilem5OLD (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐺   𝑘,𝐼   𝑘,𝑊
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐿(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem psgnunilem5OLD
Dummy variables 𝑗 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 4148 . . . 4 ¬ 𝐴 ∈ ∅
2 psgnunilem2.id . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg 𝑊) = ( I ↾ 𝐷))
32difeq1d 3954 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
43dmeqd 5558 . . . . . 6 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ))
5 resss 5658 . . . . . . . . 9 ( I ↾ 𝐷) ⊆ I
6 ssdif0 4171 . . . . . . . . 9 (( I ↾ 𝐷) ⊆ I ↔ (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅)
75, 6mpbi 222 . . . . . . . 8 (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
87dmeqi 5557 . . . . . . 7 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = dom ∅
9 dm0 5571 . . . . . . 7 dom ∅ = ∅
108, 9eqtri 2849 . . . . . 6 dom (( I ↾ 𝐷) ∖ I ) = ∅
114, 10syl6eq 2877 . . . . 5 (𝜑 → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = ∅)
1211eleq2d 2892 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ ∅))
131, 12mtbiri 319 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
14 psgnunilem2.d . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑉)
15 psgnunilem2.g . . . . . . . . . 10 𝐺 = (SymGrp‘𝐷)
1615symggrp 18170 . . . . . . . . 9 (𝐷𝑉𝐺 ∈ Grp)
17 grpmnd 17783 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Mnd)
1814, 16, 173syl 18 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
19 psgnunilem2.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = ran (pmTrsp‘𝐷)
20 eqid 2825 . . . . . . . . . . . 12 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2119, 15, 20symgtrf 18239 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ (Base‘𝐺)
22 sswrd 13582 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ⊆ (Base‘𝐺) → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
2321, 22mp1i 13 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Word 𝑇 ⊆ Word (Base‘𝐺))
24 psgnunilem2.w . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑊 ∈ Word 𝑇)
2523, 24sseldd 3828 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺))
26 swrdcl 13705 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Base‘𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺))
2820gsumwcl 17730 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
2918, 27, 28syl2anc 581 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺))
3015, 20symgbasf1o 18153 . . . . . . 7 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
3129, 30syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
3231adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷)
33 wrdf 13579 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊:(0..^(♯‘𝑊))⟶𝑇)
35 psgnunilem2.ix . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝐿))
36 psgnunilem2.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑊) = 𝐿)
3736oveq2d 6921 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^𝐿))
3835, 37eleqtrrd 2909 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3934, 38ffvelrnd 6609 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ 𝑇)
4021, 39sseldi 3825 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺))
4115, 20symgbasf1o 18153 . . . . . . 7 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4240, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4342adantr 474 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷)
4415, 20symgsssg 18237 . . . . . . . . . . . 12 (𝐷𝑉 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺))
45 subgsubm 17967 . . . . . . . . . . . 12 ({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubGrp‘𝐺) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4614, 44, 453syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
4746adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺))
48 fzossfz 12783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (0..^𝐿) ⊆ (0...𝐿)
4948, 35sseldi 3825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝐿))
50 elfzuz3 12632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∈ (0...𝐿) → 𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐿 ∈ (ℤ𝐼))
5236, 51eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼))
53 fzoss2 12791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ𝐼) → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
5554sselda 3827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → 𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
5634ffvelrnda 6608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ 𝑇)
5721, 56sseldi 3825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
5855, 57syldan 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺))
59 psgnunilem2.al . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ))
60 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑠 → (𝑊𝑘) = (𝑊𝑠))
6160difeq1d 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑠 → ((𝑊𝑘) ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6261dmeqd 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑠 → dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6362eleq2d 2892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑠 → (𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
6463notbid 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑠 → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
6564cbvralv 3383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑘) ∖ I ) ↔ ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6659, 65sylib 210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∀𝑠 ∈ (0..^𝐼) ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6766r19.21bi 3141 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
68 difeq1 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝑊𝑠) ∖ I ))
6968dmeqd 5558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑊𝑠) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7069sseq1d 3857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
71 disj2 4249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
72 disjsn 4465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7371, 72bitr3i 269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom ((𝑊𝑠) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I ))
7470, 73syl6bb 279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = (𝑊𝑠) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7574elrab 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝑊𝑠) ∈ (Base‘𝐺) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝑠) ∖ I )))
7658, 67, 75sylanbrc 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠 ∈ (0..^𝐼)) → (𝑊𝑠) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
7776fmpttd 6634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
7836oveq2d 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...(♯‘𝑊)) = (0...𝐿))
7949, 78eleqtrrd 2909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
80 swrd0valOLD 13707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝐼 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
8124, 79, 80syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑊 ↾ (0..^𝐼)))
8234feqmptd 6496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑊 = (𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)))
8382reseq1d 5628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑊 ↾ (0..^𝐼)) = ((𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)))
84 resmpt 5686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0..^𝐼) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8552, 53, 843syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑠 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↦ (𝑊𝑠)) ↾ (0..^𝐼)) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8681, 83, 853eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) = (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)))
8786feq1d 6263 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ (𝑠 ∈ (0..^𝐼) ↦ (𝑊𝑠)):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}))
8877, 87mpbird 249 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
8988adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
90 iswrdi 13578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩):(0..^𝐼)⟶{𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
92 gsumwsubmcl 17728 . . . . . . . . . 10 (({𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ∈ (SubMnd‘𝐺) ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})}) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
9347, 91, 92syl2anc 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})})
94 difeq1 3948 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (𝑗 ∖ I ) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
9594dmeqd 5558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → dom (𝑗 ∖ I ) = dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
9695sseq1d 3857 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) → (dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
9796elrab 3585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} ↔ ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})))
9897simprbi 492 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
99 disj2 4249 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}))
100 disjsn 4465 . . . . . . . . . . 11 ((dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∩ {𝐴}) = ∅ ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
10199, 100bitr3i 269 . . . . . . . . . 10 (dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴}) ↔ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
10298, 101sylib 210 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ {𝑗 ∈ (Base‘𝐺) ∣ dom (𝑗 ∖ I ) ⊆ (V ∖ {𝐴})} → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
10393, 102syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ))
104 psgnunilem2.a . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
105104adantr 474 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))
106103, 105jca 509 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
107106olcd 907 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
108 excxor 1644 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ↔ ((𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ ¬ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )) ∨ (¬ 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ∧ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))))
109107, 108sylibr 226 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I )))
110 f1omvdco3 18219 . . . . 5 (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑊𝐼):𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∖ I ) ⊻ 𝐴 ∈ dom ((𝑊𝐼) ∖ I ))) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
11132, 43, 109, 110syl3anc 1496 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
11224adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ∈ Word 𝑇)
113 elfzo0 12804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ (𝐼 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ 𝐼 < 𝐿))
114113simp2bi 1182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
11535, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
11636, 115eqeltrd 2906 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
117 wrdfin 13592 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ∈ Fin)
118 hashnncl 13447 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Fin → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
11924, 117, 1183syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ 𝑊 ≠ ∅))
120116, 119mpbid 224 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ≠ ∅)
121120adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 ≠ ∅)
122 swrdccatwrdOLD 13800 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
123122eqcomd 2831 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑇𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
124112, 121, 123syl2anc 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩))
12536oveq1d 6920 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
126125adantr 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = (𝐿 − 1))
127115nncnd 11368 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐿 ∈ ℂ)
128 1cnd 10351 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
129 elfzoelz 12765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
13035, 129syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
131130zcnd 11811 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ∈ ℂ)
132127, 128, 131subadd2d 10732 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐿 − 1) = 𝐼 ↔ (𝐼 + 1) = 𝐿))
133132biimpar 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐿 − 1) = 𝐼)
134126, 133eqtrd 2861 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼)
135 opeq2 4624 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩ = ⟨0, 𝐼⟩)
136135oveq2d 6921 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
137136adantl 475 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))
138 lsw 13624 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑇 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
13924, 138syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
140 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼 → (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑊𝐼))
141139, 140sylan9eq 2881 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → (lastS‘𝑊) = (𝑊𝐼))
142141s1eqd 13661 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
143137, 142oveq12d 6923 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) = 𝐼) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
144134, 143syldan 587 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
145124, 144eqtrd 2861 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝑊 = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩))
146145oveq2d 6921 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
14740s1cld 13663 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺))
148 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (+g𝐺) = (+g𝐺)
14920, 148gsumccat 17731 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ∈ Word (Base‘𝐺) ∧ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩ ∈ Word (Base‘𝐺)) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
15018, 27, 147, 149syl3anc 1496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
151150adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg ((𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩) ++ ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)))
15220gsumws1 17729 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺) → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
15340, 152syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩) = (𝑊𝐼))
154153oveq2d 6921 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)))
15515, 20, 148symgov 18160 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∈ (Base‘𝐺) ∧ (𝑊𝐼) ∈ (Base‘𝐺)) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
15629, 40, 155syl2anc 581 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝑊𝐼)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
157154, 156eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
158157adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩))(+g𝐺)(𝐺 Σg ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
159146, 151, 1583eqtrd 2865 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → (𝐺 Σg 𝑊) = ((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)))
160159difeq1d 3954 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
161160dmeqd 5558 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ) = dom (((𝐺 Σg (𝑊 substr ⟨0, 𝐼⟩)) ∘ (𝑊𝐼)) ∖ I ))
162111, 161eleqtrrd 2909 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 + 1) = 𝐿) → 𝐴 ∈ dom ((𝐺 Σg 𝑊) ∖ I ))
16313, 162mtand 852 . 2 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) = 𝐿)
164 fzostep1 12879 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
16535, 164syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) ∨ (𝐼 + 1) = 𝐿))
166165ord 897 . 2 (𝜑 → (¬ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 1) = 𝐿))
167163, 166mt3d 143 1 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝐿))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 880   ⊻ wxo 1639   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  {crab 3121  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144  {csn 4397  ⟨cop 4403   class class class wbr 4873   ↦ cmpt 4952   I cid 5249  dom cdm 5342  ran crn 5343   ↾ cres 5344   ∘ ccom 5346  ⟶wf 6119  –1-1-onto→wf1o 6122  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   < clt 10391   − cmin 10585  ℕcn 11350  ℕ0cn0 11618  ℤcz 11704  ℤ≥cuz 11968  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760  ♯chash 13410  Word cword 13574  lastSclsw 13622   ++ cconcat 13630  ⟨“cs1 13655   substr csubstr 13700  Basecbs 16222  +gcplusg 16305   Σg cgsu 16454  Mndcmnd 17647  SubMndcsubmnd 17687  Grpcgrp 17776  SubGrpcsubg 17939  SymGrpcsymg 18147  pmTrspcpmtr 18211 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-xor 1640  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-2o 7827  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-7 11419  df-8 11420  df-9 11421  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-seq 13096  df-hash 13411  df-word 13575  df-lsw 13623  df-concat 13631  df-s1 13656  df-substr 13701  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-tset 16324  df-0g 16455  df-gsum 16456  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-subg 17942  df-symg 18148  df-pmtr 18212 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator