Theorem pwcda1 9331

Description: The sum of a powerset with itself is equipotent to the successor powerset. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwcda1	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o))

Proof of Theorem pwcda1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 7833	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2		pwcdaen 9322	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 1o ∈ On) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
3	1, 2	mpan2 682	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o))
4		pwpw0 4562	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 {∅} = {∅, {∅}}
5		df1o2 7839	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
6	5	pweqi 4382	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 1o = 𝒫 {∅}
7		df2o2 7841	. . . . . 6 ⊢ 2o = {∅, {∅}}
8	4, 6, 7	3eqtr4i 2859	. . . . 5 ⊢ 𝒫 1o = 2o
9	8	xpeq2i 5369	. . . 4 ⊢ (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) = (𝒫 𝐴 × 2o)
10		pwexg 5078	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 𝐴 ∈ V)
11		xp2cda 9317	. . . . 5 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 × 2o) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 2o) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
13	9, 12	syl5eq 2873	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 × 𝒫 1o) = (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
14	3, 13	breqtrd 4899	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o) ≈ (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴))
15	14	ensymd 8273	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414  ∅c0 4144  𝒫 cpw 4378  {csn 4397  {cpr 4399   class class class wbr 4873   × cxp 5340  Oncon0 5963  (class class class)co 6905  1_oc1o 7819  2_oc2o 7820   ≈ cen 8219   +_𝑐 ccda 9304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-ord 5966  df-on 5967  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-1o 7826  df-2o 7827  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-cda 9305

This theorem is referenced by:  pwcdaidm  9332  cdalepw  9333  pwsdompw  9341  gchcdaidm  9805  gchpwdom  9807