MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdadom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcdadom 9295
Description: A property of dominance over a powerset, and a main lemma for gchac 9760. Similar to Lemma 2.3 of [KanamoriPincus] p. 420. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdadom (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)

Proof of Theorem pwcdadom
StepHypRef Expression
1 canthwdom 8695 . . . 4 ¬ 𝒫 𝐴* 𝐴
2 0elpw 4994 . . . . . . . . . . 11 ∅ ∈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴)
32n0ii 4089 . . . . . . . . . 10 ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅
4 dom0 8299 . . . . . . . . . 10 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅ ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) = ∅)
53, 4mtbir 314 . . . . . . . . 9 ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅
6 cdafn 9248 . . . . . . . . . . . 12 +𝑐 Fn (V × V)
7 fndm 6170 . . . . . . . . . . . 12 ( +𝑐 Fn (V × V) → dom +𝑐 = (V × V))
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 dom +𝑐 = (V × V)
98ndmov 7020 . . . . . . . . . 10 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ∅)
109breq2d 4823 . . . . . . . . 9 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ ∅))
115, 10mtbiri 318 . . . . . . . 8 (¬ (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ¬ 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
1211con4i 114 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V))
1312simpld 488 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐴 ∈ V)
14 0ex 4952 . . . . . 6 ∅ ∈ V
15 xpsneng 8256 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
1613, 14, 15sylancl 580 . . . . 5 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
17 endom 8191 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴)
18 domwdom 8690 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≼ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴)
19 wdomtr 8691 . . . . . 6 ((𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∧ (𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴) → 𝒫 𝐴* 𝐴)
2019expcom 402 . . . . 5 ((𝐴 × {∅}) ≼* 𝐴 → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
2116, 17, 18, 204syl 19 . . . 4 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴* 𝐴))
221, 21mtoi 190 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → ¬ 𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}))
23 pwcdaen 9264 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
2413, 13, 23syl2anc 579 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴))
25 domen1 8313 . . . . . . . 8 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
2624, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) ↔ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵)))
2726ibi 258 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
28 cdaval 9249 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
2912, 28syl 17 . . . . . 6 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
3027, 29breqtrd 4837 . . . . 5 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
31 unxpwdom 8705 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐴) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3230, 31syl 17 . . . 4 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) ∨ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3332ord 890 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (¬ 𝒫 𝐴* (𝐴 × {∅}) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜})))
3422, 33mpd 15 . 2 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
3512simprd 489 . . 3 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝐵 ∈ V)
36 1on 7775 . . 3 1𝑜 ∈ On
37 xpsneng 8256 . . 3 ((𝐵 ∈ V ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
3835, 36, 37sylancl 580 . 2 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
39 domentr 8223 . 2 ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐵 × {1𝑜}) ∧ (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
4034, 38, 39syl2anc 579 1 (𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵) → 𝒫 𝐴𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cun 3732  c0 4081  𝒫 cpw 4317  {csn 4336   class class class wbr 4811   × cxp 5277  dom cdm 5279  Oncon0 5910   Fn wfn 6065  (class class class)co 6846  1𝑜c1o 7761  cen 8161  cdom 8162  * cwdom 8673   +𝑐 ccda 9246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-ord 5913  df-on 5914  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-1o 7768  df-2o 7769  df-er 7951  df-map 8066  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-wdom 8675  df-cda 9247
This theorem is referenced by:  gchdomtri  9708  gchpwdom  9749  gchhar  9758
  Copyright terms: Public domain W3C validator