MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pwcdaen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pwcdaen 9295
Description: Sum of exponents law for cardinal arithmetic. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
pwcdaen ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))

Proof of Theorem pwcdaen
StepHypRef Expression
1 ovex 6910 . . 3 (𝐴 +𝑐 𝐵) ∈ V
21pw2en 8309 . 2 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵))
3 2on 7808 . . . 4 2𝑜 ∈ On
4 mapcdaen 9294 . . . 4 ((2𝑜 ∈ On ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
53, 4mp3an1 1573 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
6 pw2eng 8308 . . . . 5 (𝐴𝑉 → 𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴))
7 pw2eng 8308 . . . . 5 (𝐵𝑊 → 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵))
8 xpen 8365 . . . . 5 ((𝒫 𝐴 ≈ (2𝑜𝑚 𝐴) ∧ 𝒫 𝐵 ≈ (2𝑜𝑚 𝐵)) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
96, 7, 8syl2an 590 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)))
10 enen2 8343 . . . 4 ((𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵)) → ((2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵))))
119, 10syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵) ↔ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ ((2𝑜𝑚 𝐴) × (2𝑜𝑚 𝐵))))
125, 11mpbird 249 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
13 entr 8247 . 2 ((𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ∧ (2𝑜𝑚 (𝐴 +𝑐 𝐵)) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵)) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
142, 12, 13sylancr 582 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 (𝐴 +𝑐 𝐵) ≈ (𝒫 𝐴 × 𝒫 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  wcel 2157  𝒫 cpw 4349   class class class wbr 4843   × cxp 5310  Oncon0 5941  (class class class)co 6878  2𝑜c2o 7793  𝑚 cmap 8095  cen 8192   +𝑐 ccda 9277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-ord 5944  df-on 5945  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-1o 7799  df-2o 7800  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-cda 9278
This theorem is referenced by:  pwcda1  9304  pwcdadom  9326  canthp1lem1  9762  gchxpidm  9779  gchhar  9789
  Copyright terms: Public domain W3C validator