Theorem pwcdaidm 9354

Description: If the natural numbers inject into 𝐴, then 𝒫 𝐴 is idempotent under cardinal sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwcdaidm	⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Proof of Theorem pwcdaidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 8249	. . . 4 ⊢ Rel ≼
2	1	brrelex2i 5409	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
3		pwcda1 9353	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o))
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o))
5		infcda1 9352	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 +𝑐 1o) ≈ 𝐴)
6		pwen 8423	. . 3 ⊢ ((𝐴 +𝑐 1o) ≈ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o) ≈ 𝒫 𝐴)
8		entr 8295	. 2 ⊢ (((𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o) ∧ 𝒫 (𝐴 +𝑐 1o) ≈ 𝒫 𝐴) → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)
9	4, 7, 8	syl2anc 579	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 +𝑐 𝒫 𝐴) ≈ 𝒫 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  𝒫 cpw 4379   class class class wbr 4888  (class class class)co 6924  ωcom 7345  1_oc1o 7838   ≈ cen 8240   ≼ cdom 8241   +_𝑐 ccda 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-1o 7845  df-2o 7846  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-cda 9327

This theorem is referenced by:  gchaclem  9837