Theorem pwcdandom 9826

Description: The powerset of a Dedekind-infinite set does not inject into its cardinal sum with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
pwcdandom	⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))

Proof of Theorem pwcdandom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwxpndom2 9824	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
2		df1o2 7858	. . . . . . 7 ⊢ 1o = {∅}
3	2	xpeq2i 5384	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 × 1o) = (𝐴 × {∅})
4		reldom 8249	. . . . . . . 8 ⊢ Rel ≼
5	4	brrelex2i 5409	. . . . . . 7 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ∈ V)
6		0ex 5028	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ∈ V
7		xpsneng 8335	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
8	5, 6, 7	sylancl 580	. . . . . 6 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
9	3, 8	syl5eqbr 4923	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 1o) ≈ 𝐴)
10	9	ensymd 8294	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × 1o))
11		omex 8839	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ V
12		ordom 7354	. . . . . . . 8 ⊢ Ord ω
13		1onn 8005	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ∈ ω
14		ordelss 5994	. . . . . . . 8 ⊢ ((Ord ω ∧ 1o ∈ ω) → 1o ⊆ ω)
15	12, 13, 14	mp2an 682	. . . . . . 7 ⊢ 1o ⊆ ω
16		ssdomg 8289	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ V → (1o ⊆ ω → 1o ≼ ω))
17	11, 15, 16	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ 1o ≼ ω
18		domtr 8296	. . . . . 6 ⊢ ((1o ≼ ω ∧ ω ≼ 𝐴) → 1o ≼ 𝐴)
19	17, 18	mpan 680	. . . . 5 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 1o ≼ 𝐴)
20		xpdom2g 8346	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 1o ≼ 𝐴) → (𝐴 × 1o) ≼ (𝐴 × 𝐴))
21	5, 19, 20	syl2anc 579	. . . 4 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝐴 × 1o) ≼ (𝐴 × 𝐴))
22		endomtr 8301	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≈ (𝐴 × 1o) ∧ (𝐴 × 1o) ≼ (𝐴 × 𝐴)) → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
23	10, 21, 22	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → 𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴))
24		cdadom2 9346	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ (𝐴 × 𝐴) → (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
25		domtr 8296	. . . 4 ⊢ ((𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) ∧ (𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)))
26	25	expcom 404	. . 3 ⊢ ((𝐴 +𝑐 𝐴) ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴)) → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
27	23, 24, 26	3syl 18	. 2 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → (𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴) → 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 (𝐴 × 𝐴))))
28	1, 27	mtod 190	1 ⊢ (ω ≼ 𝐴 → ¬ 𝒫 𝐴 ≼ (𝐴 +𝑐 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  𝒫 cpw 4379  {csn 4398   class class class wbr 4888   × cxp 5355  Ord word 5977  (class class class)co 6924  ωcom 7345  1_oc1o 7838   ≈ cen 8240   ≼ cdom 8241   +_𝑐 ccda 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-inf2 8837

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-se 5317  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-isom 6146  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-supp 7579  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-seqom 7828  df-1o 7845  df-2o 7846  df-oadd 7849  df-omul 7850  df-oexp 7851  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-oi 8706  df-har 8754  df-cnf 8858  df-card 9100  df-cda 9327

This theorem is referenced by:  gchcdaidm  9827