Theorem pwm1geoserALT 42284

Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). This alternate proof of pwm1geoser 14938 is not based on geoser 14937, but on pwdif 42283 and therefore shorter than the original proof. (Contributed by AV, 19-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwm1geoserALT.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoserALT.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pwm1geoserALT	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoserALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwm1geoserALT.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	nn0zd 11770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		1exp 13143	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
5	4	eqcomd 2805	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 = (1↑𝑁))
6	5	oveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)))
7		pwm1geoserALT.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
8		1cnd 10323	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
9		pwdif 42283	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
10	1, 7, 8, 9	syl3anc 1491	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − (1↑𝑁)) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))))
11		fzoval 12726	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
12	2, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = (0...(𝑁 − 1)))
13	2	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
14		elfzoelz 12725	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
15	14	adantl 474	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℤ)
16	13, 15	zsubcld 11777	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ)
17		peano2zm 11710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑘) ∈ ℤ → ((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℤ)
18		1exp 13143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 − 𝑘) − 1) ∈ ℤ → (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = 1)
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)) = 1)
20	19	oveq2d 6894	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = ((𝐴↑𝑘) · 1))
21	7	adantr 473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
22		elfzonn0 12768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0..^𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
23	22	adantl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24	21, 23	expcld 13262	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
25	24	mulid1d 10346	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · 1) = (𝐴↑𝑘))
26	20, 25	eqtrd 2833	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = (𝐴↑𝑘))
27	12, 26	sumeq12dv 14778	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
28	27	oveq2d 6894	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0..^𝑁)((𝐴↑𝑘) · (1↑((𝑁 − 𝑘) − 1)))) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
29	6, 10, 28	3eqtrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6878  ℂcc 10222  0cc0 10224  1c1 10225   · cmul 10229   − cmin 10556  ℕ₀cn0 11580  ℤcz 11666  ...cfz 12580  ..^cfzo 12720  ↑cexp 13114  Σcsu 14757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-oi 8657  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-rp 12075  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-seq 13056  df-exp 13115  df-hash 13371  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-clim 14560  df-sum 14758

This theorem is referenced by: (None)