MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rim0to0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rim0to0 19060
Description: A ring isomorphism maps the zero of one ring (and only the zero) to the zero of the other ring. (Contributed by AV, 24-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
f1rhm0to0.a 𝐴 = (Base‘𝑅)
f1rhm0to0.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
f1rhm0to0.n 𝑁 = (0g𝑆)
f1rhm0to0.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rim0to0 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem rim0to0
StepHypRef Expression
1 f1rhm0to0.a . . . . . 6 𝐴 = (Base‘𝑅)
2 f1rhm0to0.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑆)
31, 2rimrhm 19053 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆))
41, 2rimf1o 19052 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝐹:𝐴1-1-onto𝐵)
5 f1of1 6355 . . . . . 6 (𝐹:𝐴1-1-onto𝐵𝐹:𝐴1-1𝐵)
64, 5syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → 𝐹:𝐴1-1𝐵)
73, 6jca 508 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵))
87anim1i 609 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑋𝐴))
9 df-3an 1110 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) ↔ ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑋𝐴))
108, 9sylibr 226 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴))
11 f1rhm0to0.n . . 3 𝑁 = (0g𝑆)
12 f1rhm0to0.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
131, 2, 11, 12f1rhm0to0 19058 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ∧ 𝐹:𝐴1-1𝐵𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))
1410, 13syl 17 1 ((𝐹 ∈ (𝑅 RingIso 𝑆) ∧ 𝑋𝐴) → ((𝐹𝑋) = 𝑁𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  1-1wf1 6098  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  0gc0g 16415   RingHom crh 19030   RingIso crs 19031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-map 8097  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-mhm 17650  df-grp 17741  df-ghm 17971  df-mgp 18806  df-ur 18818  df-ring 18865  df-rnghom 19033  df-rngiso 19034
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator