Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signstfveq0OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signstfveq0OLD 31199
 Description: Obsolete proof of signstfveq0 31198 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signstfveq0.1 𝑁 = (♯‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
signstfveq0OLD (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛   𝐹,𝑎,𝑏,𝑓,𝑖,𝑛   𝑁,𝑎   𝑓,𝑏,𝑖,𝑛,𝑁   𝑇,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝐹(𝑗)   𝑁(𝑗)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signstfveq0OLD
StepHypRef Expression
1 simpll 783 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
21eldifad 3810 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
3 swrdcl 13712 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ)
42, 3syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ)
5 1nn0 11643 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
65a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℕ0)
76nn0red 11686 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℝ)
8 2re 11432 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ)
10 signstfveq0.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (♯‘𝐹)
11 lencl 13600 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
122, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
1310, 12syl5eqel 2910 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1413nn0red 11686 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
15 1le2 11574 . . . . . . . . . . . 12 1 ≤ 2
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 2)
17 signsv.p . . . . . . . . . . . . . 14 = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
18 signsv.w . . . . . . . . . . . . . 14 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
19 signsv.t . . . . . . . . . . . . . 14 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
20 signsv.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
2117, 18, 19, 20, 10signstfveq0a 31197 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
22 eluz2 11981 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
2321, 22sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑁))
2423simp3d 1178 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ≤ 𝑁)
257, 9, 14, 16, 24letrd 10520 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ≤ 𝑁)
26 fznn0 12733 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁)))
2713, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (1 ∈ (0...𝑁) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 𝑁)))
286, 25, 27mpbir2and 704 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ (0...𝑁))
29 fznn0sub2 12748 . . . . . . . . 9 (1 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...𝑁))
3110oveq2i 6921 . . . . . . . 8 (0...𝑁) = (0...(♯‘𝐹))
3230, 31syl6eleq 2916 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
33 swrd0lenOLD 13715 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = (𝑁 − 1))
342, 32, 33syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = (𝑁 − 1))
35 uz2m1nn 12053 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
3621, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
3734, 36eqeltrd 2906 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ∈ ℕ)
38 nnne0 11393 . . . . . 6 ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ∈ ℕ → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ≠ 0)
39 fveq2 6437 . . . . . . . 8 ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = ∅ → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = (♯‘∅))
40 hash0 13455 . . . . . . . 8 (♯‘∅) = 0
4139, 40syl6eq 2877 . . . . . . 7 ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = ∅ → (♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) = 0)
4241necon3i 3031 . . . . . 6 ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ≠ 0 → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅)
4338, 42syl 17 . . . . 5 ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) ∈ ℕ → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅)
4437, 43syl 17 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅)
45 eldifsn 4538 . . . 4 ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ≠ ∅))
464, 44, 45sylanbrc 578 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}))
47 simpr 479 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0)
48 0re 10365 . . . 4 0 ∈ ℝ
4947, 48syl6eqel 2914 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ)
5017, 18, 19, 20signstfvn 31189 . . 3 (((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
5146, 49, 50syl2anc 579 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))))
5210oveq1i 6920 . . . . . . . . 9 (𝑁 − 1) = ((♯‘𝐹) − 1)
5352opeq2i 4629 . . . . . . . 8 ⟨0, (𝑁 − 1)⟩ = ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩
5453oveq2i 6921 . . . . . . 7 (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = (𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩)
5554a1i 11 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) = (𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩))
56 lsw 13631 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
5756ad2antrr 717 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)))
5810eqcomi 2834 . . . . . . . . . . 11 (♯‘𝐹) = 𝑁
5958oveq1i 6920 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐹) − 1) = (𝑁 − 1)
6059fveq2i 6440 . . . . . . . . 9 (𝐹‘((♯‘𝐹) − 1)) = (𝐹‘(𝑁 − 1))
6157, 60syl6eq 2877 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (lastS‘𝐹) = (𝐹‘(𝑁 − 1)))
6261s1eqd 13668 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩ = ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)
6362eqcomd 2831 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩ = ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩)
6455, 63oveq12d 6928 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = ((𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩))
65 eldifsn 4538 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ↔ (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
661, 65sylib 210 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅))
67 swrdccatwrdOLD 13807 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
6866, 67syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 substr ⟨0, ((♯‘𝐹) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝐹)”⟩) = 𝐹)
6964, 68eqtrd 2861 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩) = 𝐹)
7069fveq2d 6441 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)) = (𝑇𝐹))
7170, 34fveq12d 6444 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)))
7213nn0cnd 11687 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
73 1cnd 10358 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 1 ∈ ℂ)
7472, 73, 73subsub4d 10751 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
75 1p1e2 11490 . . . . . . . . . 10 (1 + 1) = 2
7675oveq2i 6921 . . . . . . . . 9 (𝑁 − (1 + 1)) = (𝑁 − 2)
7774, 76syl6eq 2877 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) = (𝑁 − 2))
78 fzo0end 12862 . . . . . . . . 9 ((𝑁 − 1) ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
7936, 78syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑁 − 1) − 1) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8077, 79eqeltrrd 2907 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(𝑁 − 1)))
8134oveq2d 6926 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (0..^(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))) = (0..^(𝑁 − 1)))
8280, 81eleqtrrd 2909 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))))
8317, 18, 19, 20signstfvp 31192 . . . . . 6 (((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ∈ Word ℝ ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)))) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘(𝑁 − 2)))
844, 49, 82, 83syl3anc 1494 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘(𝑁 − 2)))
8569eqcomd 2831 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝐹 = ((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))
8685fveq2d 6441 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑇𝐹) = (𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩)))
8786fveq1d 6439 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) = ((𝑇‘((𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩) ++ ⟨“(𝐹‘(𝑁 − 1))”⟩))‘(𝑁 − 2)))
8834oveq1d 6925 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1) = ((𝑁 − 1) − 1))
8988, 74eqtrd 2861 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1) = (𝑁 − (1 + 1)))
9089, 76syl6eq 2877 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1) = (𝑁 − 2))
9190fveq2d 6441 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) = ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘(𝑁 − 2)))
9284, 87, 913eqtr4rd 2872 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
93 fveq2 6437 . . . . . 6 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = (sgn‘0))
94 sgn0 14213 . . . . . 6 (sgn‘0) = 0
9593, 94syl6eq 2877 . . . . 5 ((𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0 → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
9695adantl 475 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1))) = 0)
9792, 96oveq12d 6928 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) 0))
98 uznn0sub 12008 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
9921, 98syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
100 eluz2nn 12015 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
10121, 100syl 17 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ)
102 2rp 12124 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
103102a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → 2 ∈ ℝ+)
10414, 103ltsubrpd 12195 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) < 𝑁)
105 elfzo0 12811 . . . . . . 7 ((𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁) ↔ ((𝑁 − 2) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 2) < 𝑁))
10699, 101, 104, 105syl3anbrc 1447 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^𝑁))
10710oveq2i 6921 . . . . . 6 (0..^𝑁) = (0..^(♯‘𝐹))
108106, 107syl6eleq 2916 . . . . 5 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
10917, 18, 19, 20signstcl 31185 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ (𝑁 − 2) ∈ (0..^(♯‘𝐹))) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
1102, 108, 109syl2anc 579 . . . 4 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1})
11117, 18signswrid 31178 . . . 4 (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) ∈ {-1, 0, 1} → (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) 0) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
112110, 111syl 17 . . 3 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)) 0) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
11397, 112eqtrd 2861 . 2 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → (((𝑇‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩))‘((♯‘(𝐹 substr ⟨0, (𝑁 − 1)⟩)) − 1)) (sgn‘(𝐹‘(𝑁 − 1)))) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
11451, 71, 1133eqtr3d 2869 1 (((𝐹 ∈ (Word ℝ ∖ {∅}) ∧ (𝐹‘0) ≠ 0) ∧ (𝐹‘(𝑁 − 1)) = 0) → ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 1)) = ((𝑇𝐹)‘(𝑁 − 2)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   ∖ cdif 3795  ∅c0 4146  ifcif 4308  {csn 4399  {cpr 4401  {ctp 4403  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875   ↦ cmpt 4954  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ↦ cmpt2 6912  ℝcr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   < clt 10398   ≤ cle 10399   − cmin 10592  -cneg 10593  ℕcn 11357  2c2 11413  ℕ0cn0 11625  ℤcz 11711  ℤ≥cuz 11975  ℝ+crp 12119  ...cfz 12626  ..^cfzo 12767  ♯chash 13417  Word cword 13581  lastSclsw 13629   ++ cconcat 13637  ⟨“cs1 13662   substr csubstr 13707  sgncsgn 14210  Σcsu 14800  ndxcnx 16226  Basecbs 16229  +gcplusg 16312   Σg cgsu 16461 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-seq 13103  df-hash 13418  df-word 13582  df-lsw 13630  df-concat 13638  df-s1 13663  df-substr 13708  df-sgn 14211  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-plusg 16325  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator