Theorem splfv2aOLD 13871

Description: Obsolete proof of splfv2a 13870 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
spllen.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))

Assertion

Ref	Expression
splfv2aOLD	⊢ (𝜑 → ((𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Proof of Theorem splfv2aOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		spllen.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
2		spllen.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...𝑇))
3		spllen.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4		spllen.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Word 𝐴)
5		splvalOLD 13861	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
6	1, 2, 3, 4, 5	syl13anc 1497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7		elfznn0 12727	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℕ0)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℕ0)
9	8	nn0cnd 11680	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℂ)
10		splfv2a.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
11		elfzoelz 12765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) → 𝑋 ∈ ℤ)
12	10, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℤ)
13	12	zcnd 11811	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
14	9, 13	addcomd 10557	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐹))
15		nn0uz 12004	. . . . . . . . 9 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
16	8, 15	syl6eleq 2916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (ℤ≥‘0))
17		eluzfz1 12641	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
19		elfzuz3 12632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
20	3, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇))
21		elfzuz3 12632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
22	2, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹))
23		uztrn 11985	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ≥‘𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
24	20, 22, 23	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹))
25		elfzuzb 12629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ≥‘𝐹)))
26	16, 24, 25	sylanbrc 580	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
27		swrdlen 13709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
28	1, 18, 26, 27	syl3anc 1496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
29	9	subid1d 10702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
30	28, 29	eqtrd 2861	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
31	30	oveq2d 6921	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) = (𝑋 + 𝐹))
32	14, 31	eqtr4d 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))))
33	6, 32	fveq12d 6440	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))))
34		swrdcl 13705	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
35	1, 34	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
36		ccatcl 13634	. . . 4 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
37	35, 4, 36	syl2anc 581	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
38		swrdcl 13705	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
39	1, 38	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
40		0nn0 11635	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
41		nn0addcl 11655	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹 ∈ ℕ0) → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
42	40, 8, 41	sylancr 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
43		fzoss1 12790	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ (ℤ≥‘0) → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
44	43, 15	eleq2s 2924	. . . . . . 7 ⊢ ((0 + 𝐹) ∈ ℕ0 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
45	42, 44	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
46		ccatlen 13635	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
47	35, 4, 46	syl2anc 581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
48	30	oveq1d 6920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
49		wrdfin 13592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Word 𝐴 → 𝑅 ∈ Fin)
50	4, 49	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Fin)
51		hashcl 13437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Fin → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
53	52	nn0cnd 11680	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
54	9, 53	addcomd 10557	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
55	47, 48, 54	3eqtrd 2865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
56	55	oveq2d 6921	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))) = (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
57	45, 56	sseqtr4d 3867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
58	8	nn0zd 11808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℤ)
59		fzoaddel 12816	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
60	10, 58, 59	syl2anc 581	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
61	57, 60	sseldd 3828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
62	31, 61	eqeltrd 2906	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
63		ccatval1 13637	. . 3 ⊢ ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))))
64	37, 39, 62, 63	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))))
65		ccatval3 13639	. . 3 ⊢ (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅))) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (𝑅‘𝑋))
66	35, 4, 10, 65	syl3anc 1496	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (𝑅‘𝑋))
67	33, 64, 66	3eqtrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3798  ⟨cop 4403  ⟨cotp 4405  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  0cc0 10252   + caddc 10255   − cmin 10585  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704  ℤ_≥cuz 11968  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760  ♯chash 13410  Word cword 13574   ++ cconcat 13630   substr csubstr 13700   spliceOLD cspliceold 13856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-substr 13701  df-spliceOLD 13858

This theorem is referenced by: (None)