Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splfv2aOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splfv2aOLD 13871
 Description: Obsolete proof of splfv2a 13870 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
spllen.s (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
spllen.f (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
spllen.t (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
spllen.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
splfv2a.x (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
Assertion
Ref Expression
splfv2aOLD (𝜑 → ((𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅𝑋))

Proof of Theorem splfv2aOLD
StepHypRef Expression
1 spllen.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝐴)
2 spllen.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3 spllen.t . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
4 spllen.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝐴)
5 splvalOLD 13861 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ (𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ 𝑅 ∈ Word 𝐴)) → (𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
61, 2, 3, 4, 5syl13anc 1497 . . 3 (𝜑 → (𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
7 elfznn0 12727 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝐹 ∈ ℕ0)
82, 7syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
98nn0cnd 11680 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ ℂ)
10 splfv2a.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)))
11 elfzoelz 12765 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) → 𝑋 ∈ ℤ)
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℤ)
1312zcnd 11811 . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
149, 13addcomd 10557 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + 𝐹))
15 nn0uz 12004 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
168, 15syl6eleq 2916 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
17 eluzfz1 12641 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
19 elfzuz3 12632 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
203, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
21 elfzuz3 12632 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...𝑇) → 𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
222, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
23 uztrn 11985 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
2420, 22, 23syl2anc 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
25 elfzuzb 12629 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
2616, 24, 25sylanbrc 580 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
27 swrdlen 13709 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
281, 18, 26, 27syl3anc 1496 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (𝐹 − 0))
299subid1d 10702 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 − 0) = 𝐹)
3028, 29eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
3130oveq2d 6921 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) = (𝑋 + 𝐹))
3214, 31eqtr4d 2864 . . 3 (𝜑 → (𝐹 + 𝑋) = (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))))
336, 32fveq12d 6440 . 2 (𝜑 → ((𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))))
34 swrdcl 13705 . . . . 5 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
351, 34syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴)
36 ccatcl 13634 . . . 4 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
3735, 4, 36syl2anc 581 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴)
38 swrdcl 13705 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
391, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴)
40 0nn0 11635 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
41 nn0addcl 11655 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℕ0𝐹 ∈ ℕ0) → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
4240, 8, 41sylancr 583 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + 𝐹) ∈ ℕ0)
43 fzoss1 12790 . . . . . . . 8 ((0 + 𝐹) ∈ (ℤ‘0) → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
4443, 15eleq2s 2924 . . . . . . 7 ((0 + 𝐹) ∈ ℕ0 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
4542, 44syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
46 ccatlen 13635 . . . . . . . . 9 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴) → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
4735, 4, 46syl2anc 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)))
4830oveq1d 6920 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) + (♯‘𝑅)) = (𝐹 + (♯‘𝑅)))
49 wrdfin 13592 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Fin)
504, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ Fin)
51 hashcl 13437 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Fin → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℕ0)
5352nn0cnd 11680 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑅) ∈ ℂ)
549, 53addcomd 10557 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
5547, 48, 543eqtrd 2865 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)) = ((♯‘𝑅) + 𝐹))
5655oveq2d 6921 . . . . . 6 (𝜑 → (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))) = (0..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
5745, 56sseqtr4d 3867 . . . . 5 (𝜑 → ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)) ⊆ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
588nn0zd 11808 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
59 fzoaddel 12816 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅)) ∧ 𝐹 ∈ ℤ) → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
6010, 58, 59syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ ((0 + 𝐹)..^((♯‘𝑅) + 𝐹)))
6157, 60sseldd 3828 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 + 𝐹) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
6231, 61eqeltrd 2906 . . 3 (𝜑 → (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅))))
63 ccatval1 13637 . . 3 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩))) ∈ (0..^(♯‘((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)))) → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))))
6437, 39, 62, 63syl3anc 1496 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩))‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))))
65 ccatval3 13639 . . 3 (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝐴𝑅 ∈ Word 𝐴𝑋 ∈ (0..^(♯‘𝑅))) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (𝑅𝑋))
6635, 4, 10, 65syl3anc 1496 . 2 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅)‘(𝑋 + (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)))) = (𝑅𝑋))
6733, 64, 663eqtrd 2865 1 (𝜑 → ((𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩)‘(𝐹 + 𝑋)) = (𝑅𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3798  ⟨cop 4403  ⟨cotp 4405  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  0cc0 10252   + caddc 10255   − cmin 10585  ℕ0cn0 11618  ℤcz 11704  ℤ≥cuz 11968  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760  ♯chash 13410  Word cword 13574   ++ cconcat 13630   substr csubstr 13700   spliceOLD cspliceold 13856 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-ot 4406  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-substr 13701  df-spliceOLD 13858 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator