Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  splval2OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem splval2OLD 13874
 Description: Obsolete proof of splval2 13873 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
splval2.a (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑋)
splval2.b (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑋)
splval2.c (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑋)
splval2.r (𝜑𝑅 ∈ Word 𝑋)
splval2.s (𝜑𝑆 = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
splval2.f (𝜑𝐹 = (♯‘𝐴))
splval2.t (𝜑𝑇 = (𝐹 + (♯‘𝐵)))
Assertion
Ref Expression
splval2OLD (𝜑 → (𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))

Proof of Theorem splval2OLD
StepHypRef Expression
1 splval2.s . . . 4 (𝜑𝑆 = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
2 splval2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Word 𝑋)
3 splval2.b . . . . . 6 (𝜑𝐵 ∈ Word 𝑋)
4 ccatcl 13635 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word 𝑋𝐵 ∈ Word 𝑋) → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋)
52, 3, 4syl2anc 581 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋)
6 splval2.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ Word 𝑋)
7 ccatcl 13635 . . . . 5 (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋𝐶 ∈ Word 𝑋) → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ∈ Word 𝑋)
85, 6, 7syl2anc 581 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ∈ Word 𝑋)
91, 8eqeltrd 2907 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ Word 𝑋)
10 splval2.f . . . 4 (𝜑𝐹 = (♯‘𝐴))
11 lencl 13594 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
122, 11syl 17 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
1310, 12eqeltrd 2907 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ℕ0)
14 splval2.t . . . 4 (𝜑𝑇 = (𝐹 + (♯‘𝐵)))
15 lencl 13594 . . . . . 6 (𝐵 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
163, 15syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
1713, 16nn0addcld 11683 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
1814, 17eqeltrd 2907 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℕ0)
19 splval2.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Word 𝑋)
20 splvalOLD 13862 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ (𝐹 ∈ ℕ0𝑇 ∈ ℕ0𝑅 ∈ Word 𝑋)) → (𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
219, 13, 18, 19, 20syl13anc 1497 . 2 (𝜑 → (𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)))
22 nn0uz 12005 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
2313, 22syl6eleq 2917 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ‘0))
24 eluzfz1 12642 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐹))
2523, 24syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝐹))
2613nn0zd 11809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹 ∈ ℤ)
27 uzid 11984 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ (ℤ𝐹))
29 uzaddcl 12027 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (ℤ𝐹) ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐹))
3028, 16, 29syl2anc 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ𝐹))
3114, 30eqeltrd 2907 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝐹))
32 elfzuzb 12630 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (0...𝑇) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)))
3323, 31, 32sylanbrc 580 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ (0...𝑇))
3418, 22syl6eleq 2917 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ‘0))
35 ccatlen 13636 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋𝐶 ∈ Word 𝑋) → (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
365, 6, 35syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
371fveq2d 6438 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (♯‘((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶)))
3810oveq1d 6921 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹 + (♯‘𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
39 ccatlen 13636 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ Word 𝑋𝐵 ∈ Word 𝑋) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
402, 3, 39syl2anc 581 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
4138, 14, 403eqtr4d 2872 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
4241oveq1d 6921 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑇 + (♯‘𝐶)) = ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) + (♯‘𝐶)))
4336, 37, 423eqtr4d 2872 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑆) = (𝑇 + (♯‘𝐶)))
4418nn0zd 11809 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
45 uzid 11984 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ ℤ → 𝑇 ∈ (ℤ𝑇))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ (ℤ𝑇))
47 lencl 13594 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
486, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝐶) ∈ ℕ0)
49 uzaddcl 12027 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇 ∈ (ℤ𝑇) ∧ (♯‘𝐶) ∈ ℕ0) → (𝑇 + (♯‘𝐶)) ∈ (ℤ𝑇))
5046, 48, 49syl2anc 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑇 + (♯‘𝐶)) ∈ (ℤ𝑇))
5143, 50eqeltrd 2907 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇))
52 elfzuzb 12630 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝑇 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇)))
5334, 51, 52sylanbrc 580 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
54 ccatswrd 13747 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ (0 ∈ (0...𝐹) ∧ 𝐹 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩))
559, 25, 33, 53, 54syl13anc 1497 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩))
56 eluzfz1 12642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑇 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝑇))
5734, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑇))
58 lencl 13594 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
599, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ0)
6059, 22syl6eleq 2917 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0))
61 eluzfz2 12643 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ‘0) → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))
63 ccatswrd 13747 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∈ Word 𝑋 ∧ (0 ∈ (0...𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (0...(♯‘𝑆)))) → ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩))
649, 57, 53, 62, 63syl13anc 1497 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = (𝑆 substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩))
65 swrdidOLD 13716 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = 𝑆)
669, 65syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, (♯‘𝑆)⟩) = 𝑆)
6764, 66, 13eqtrd 2866 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶))
68 swrdcl 13706 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
699, 68syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
70 swrdcl 13706 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋)
719, 70syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋)
72 swrd0lenOLD 13709 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ Word 𝑋𝑇 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩)) = 𝑇)
739, 53, 72syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩)) = 𝑇)
7473, 41eqtrd 2862 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))
75 ccatopth 13805 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋 ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) ∈ Word 𝑋) ∧ ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑋𝐶 ∈ Word 𝑋) ∧ (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩)) = (♯‘(𝐴 ++ 𝐵))) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ↔ ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)))
7669, 71, 5, 6, 74, 75syl221anc 1506 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝐵) ++ 𝐶) ↔ ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)))
7767, 76mpbid 224 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) = (𝐴 ++ 𝐵) ∧ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶))
7877simpld 490 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝑇⟩) = (𝐴 ++ 𝐵))
7955, 78eqtrd 2862 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵))
80 swrdcl 13706 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝑋)
819, 80syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝑋)
82 swrdcl 13706 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Word 𝑋 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
839, 82syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋)
84 uztrn 11986 . . . . . . . . . . 11 (((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝑇) ∧ 𝑇 ∈ (ℤ𝐹)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
8551, 31, 84syl2anc 581 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹))
86 elfzuzb 12630 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)) ↔ (𝐹 ∈ (ℤ‘0) ∧ (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐹)))
8723, 85, 86sylanbrc 580 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
88 swrd0lenOLD 13709 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ Word 𝑋𝐹 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
899, 87, 88syl2anc 581 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = 𝐹)
9089, 10eqtrd 2862 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (♯‘𝐴))
91 ccatopth 13805 . . . . . . 7 ((((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ∈ Word 𝑋 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) ∈ Word 𝑋) ∧ (𝐴 ∈ Word 𝑋𝐵 ∈ Word 𝑋) ∧ (♯‘(𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩)) = (♯‘𝐴)) → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵) ↔ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵)))
9281, 83, 2, 3, 90, 91syl221anc 1506 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩)) = (𝐴 ++ 𝐵) ↔ ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵)))
9379, 92mpbid 224 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = 𝐴 ∧ (𝑆 substr ⟨𝐹, 𝑇⟩) = 𝐵))
9493simpld 490 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) = 𝐴)
9594oveq1d 6921 . . 3 (𝜑 → ((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) = (𝐴 ++ 𝑅))
9677simprd 491 . . 3 (𝜑 → (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩) = 𝐶)
9795, 96oveq12d 6924 . 2 (𝜑 → (((𝑆 substr ⟨0, 𝐹⟩) ++ 𝑅) ++ (𝑆 substr ⟨𝑇, (♯‘𝑆)⟩)) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))
9821, 97eqtrd 2862 1 (𝜑 → (𝑆 spliceOLD ⟨𝐹, 𝑇, 𝑅⟩) = ((𝐴 ++ 𝑅) ++ 𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ⟨cop 4404  ⟨cotp 4406  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  0cc0 10253   + caddc 10256  ℕ0cn0 11619  ℤcz 11705  ℤ≥cuz 11969  ...cfz 12620  ♯chash 13411  Word cword 13575   ++ cconcat 13631   substr csubstr 13701   spliceOLD cspliceold 13857 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-hash 13412  df-word 13576  df-concat 13632  df-substr 13702  df-pfx 13751  df-spliceOLD 13859 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator