Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlemor1OLD 16241
 Description: Add one element to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 16240. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o 𝐼 < 𝐽
strlemor.j 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a 𝐴 = 𝐽
strlemor1.g 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
Assertion
Ref Expression
strlemor1OLD (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))

Proof of Theorem strlemor1OLD
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . . . . 6 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
21simpli 476 . . . . 5 Fun 𝐹
3 funcnvsn 6117 . . . . 5 Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩}
42, 3pm3.2i 462 . . . 4 (Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩})
5 cnvcnvss 5772 . . . . . . 7 𝐹𝐹
6 dmss 5491 . . . . . . 7 (𝐹𝐹 → dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹)
75, 6ax-mp 5 . . . . . 6 dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹
8 cnvcnvsn 5796 . . . . . . . . 9 {⟨𝐽, 𝑋⟩} = {⟨𝑋, 𝐽⟩}
9 cnvcnvss 5772 . . . . . . . . 9 {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
108, 9eqsstr3i 3796 . . . . . . . 8 {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩}
11 dmss 5491 . . . . . . . 8 ({⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {⟨𝐽, 𝑋⟩} → dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7 dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}
13 dmsnopss 5791 . . . . . . 7 dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ {𝐽}
1412, 13sstri 3770 . . . . . 6 dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}
15 ss2in 4000 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ⊆ dom 𝐹 ∧ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩} ⊆ {𝐽}) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}))
167, 14, 15mp2an 683 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽})
17 strlemor.o . . . . . . . . 9 𝐼 < 𝐽
18 strlemor.i . . . . . . . . . . 11 𝐼 ∈ ℕ0
1918nn0rei 11550 . . . . . . . . . 10 𝐼 ∈ ℝ
20 strlemor.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 ∈ ℕ
2120nnrei 11284 . . . . . . . . . 10 𝐽 ∈ ℝ
2219, 21ltnlei 10412 . . . . . . . . 9 (𝐼 < 𝐽 ↔ ¬ 𝐽𝐼)
2317, 22mpbi 221 . . . . . . . 8 ¬ 𝐽𝐼
24 elfzle2 12552 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (1...𝐼) → 𝐽𝐼)
2523, 24mto 188 . . . . . . 7 ¬ 𝐽 ∈ (1...𝐼)
261simpri 479 . . . . . . . 8 dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼)
2726sseli 3757 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ dom 𝐹𝐽 ∈ (1...𝐼))
2825, 27mto 188 . . . . . 6 ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹
29 disjsn 4402 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅ ↔ ¬ 𝐽 ∈ dom 𝐹)
3028, 29mpbir 222 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅
31 sseq0 4137 . . . . 5 (((dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ⊆ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) ∧ (dom 𝐹 ∩ {𝐽}) = ∅) → (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅)
3216, 30, 31mp2an 683 . . . 4 (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅
33 funun 6113 . . . 4 (((Fun 𝐹 ∧ Fun {⟨𝑋, 𝐽⟩}) ∧ (dom 𝐹 ∩ dom {⟨𝑋, 𝐽⟩}) = ∅) → Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
344, 32, 33mp2an 683 . . 3 Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
35 strlemor1.g . . . . . . . . 9 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩})
36 strlemor.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = 𝐽
3736opeq1i 4562 . . . . . . . . . . 11 𝐴, 𝑋⟩ = ⟨𝐽, 𝑋
3837sneqi 4345 . . . . . . . . . 10 {⟨𝐴, 𝑋⟩} = {⟨𝐽, 𝑋⟩}
3938uneq2i 3926 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
4035, 39eqtri 2787 . . . . . . . 8 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
4140cnveqi 5465 . . . . . . 7 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
42 cnvun 5721 . . . . . . 7 (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
4341, 42eqtri 2787 . . . . . 6 𝐺 = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
4443cnveqi 5465 . . . . 5 𝐺 = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
45 cnvun 5721 . . . . . 6 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩})
468uneq2i 3926 . . . . . 6 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4745, 46eqtri 2787 . . . . 5 (𝐹{⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4844, 47eqtri 2787 . . . 4 𝐺 = (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩})
4948funeqi 6089 . . 3 (Fun 𝐺 ↔ Fun (𝐹{⟨𝑋, 𝐽⟩}))
5034, 49mpbir 222 . 2 Fun 𝐺
5140dmeqi 5493 . . . 4 dom 𝐺 = dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩})
52 dmun 5499 . . . 4 dom (𝐹 ∪ {⟨𝐽, 𝑋⟩}) = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
5351, 52eqtri 2787 . . 3 dom 𝐺 = (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩})
5418nn0zi 11649 . . . . . . 7 𝐼 ∈ ℤ
5520nnzi 11648 . . . . . . 7 𝐽 ∈ ℤ
5619, 21, 17ltleii 10414 . . . . . . 7 𝐼𝐽
57 eluz2 11892 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ ∧ 𝐼𝐽))
5854, 55, 56, 57mpbir3an 1441 . . . . . 6 𝐽 ∈ (ℤ𝐼)
59 fzss2 12588 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (ℤ𝐼) → (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽))
6058, 59ax-mp 5 . . . . 5 (1...𝐼) ⊆ (1...𝐽)
6126, 60sstri 3770 . . . 4 dom 𝐹 ⊆ (1...𝐽)
62 elfz1end 12578 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ ℕ ↔ 𝐽 ∈ (1...𝐽))
6320, 62mpbi 221 . . . . . 6 𝐽 ∈ (1...𝐽)
64 snssi 4493 . . . . . 6 (𝐽 ∈ (1...𝐽) → {𝐽} ⊆ (1...𝐽))
6563, 64ax-mp 5 . . . . 5 {𝐽} ⊆ (1...𝐽)
6613, 65sstri 3770 . . . 4 dom {⟨𝐽, 𝑋⟩} ⊆ (1...𝐽)
6761, 66unssi 3950 . . 3 (dom 𝐹 ∪ dom {⟨𝐽, 𝑋⟩}) ⊆ (1...𝐽)
6853, 67eqsstri 3795 . 2 dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽)
6950, 68pm3.2i 462 1 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐽))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 384   = wceq 1652   ∈ wcel 2155   ∪ cun 3730   ∩ cin 3731   ⊆ wss 3732  ∅c0 4079  {csn 4334  ⟨cop 4340   class class class wbr 4809  ◡ccnv 5276  dom cdm 5277  Fun wfun 6062  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  1c1 10190   < clt 10328   ≤ cle 10329  ℕcn 11274  ℕ0cn0 11538  ℤcz 11624  ℤ≥cuz 11886  ...cfz 12533 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534 This theorem is referenced by:  strlemor2OLD  16242  strlemor3OLD  16243
 Copyright terms: Public domain W3C validator