MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  strlemor3OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem strlemor3OLD 16245
Description: Add three elements to the end of a structure. Obsolete as of 26-Nov-2021. See comment of strlemor0OLD 16242. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
strlemor.f (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
strlemor.i 𝐼 ∈ ℕ0
strlemor.o 𝐼 < 𝐽
strlemor.j 𝐽 ∈ ℕ
strlemor.a 𝐴 = 𝐽
strlemor2.o 𝐽 < 𝐾
strlemor2.k 𝐾 ∈ ℕ
strlemor2.b 𝐵 = 𝐾
strlemor3.o 𝐾 < 𝐿
strlemor3.l 𝐿 ∈ ℕ
strlemor3.c 𝐶 = 𝐿
strlemor3.g 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩})
Assertion
Ref Expression
strlemor3OLD (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐿))

Proof of Theorem strlemor3OLD
StepHypRef Expression
1 strlemor.f . . 3 (Fun 𝐹 ∧ dom 𝐹 ⊆ (1...𝐼))
2 strlemor.i . . 3 𝐼 ∈ ℕ0
3 strlemor.o . . 3 𝐼 < 𝐽
4 strlemor.j . . 3 𝐽 ∈ ℕ
5 strlemor.a . . 3 𝐴 = 𝐽
6 strlemor2.o . . 3 𝐽 < 𝐾
7 strlemor2.k . . 3 𝐾 ∈ ℕ
8 strlemor2.b . . 3 𝐵 = 𝐾
9 eqid 2765 . . 3 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩})
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9strlemor2OLD 16244 . 2 (Fun (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∧ dom (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ⊆ (1...𝐾))
117nnnn0i 11547 . 2 𝐾 ∈ ℕ0
12 strlemor3.o . 2 𝐾 < 𝐿
13 strlemor3.l . 2 𝐿 ∈ ℕ
14 strlemor3.c . 2 𝐶 = 𝐿
15 df-tp 4339 . . . 4 {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩} = ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
1615uneq2i 3926 . . 3 (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}))
17 strlemor3.g . . 3 𝐺 = (𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩, ⟨𝐶, 𝑍⟩})
18 unass 3932 . . 3 ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}) = (𝐹 ∪ ({⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩} ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩}))
1916, 17, 183eqtr4i 2797 . 2 𝐺 = ((𝐹 ∪ {⟨𝐴, 𝑋⟩, ⟨𝐵, 𝑌⟩}) ∪ {⟨𝐶, 𝑍⟩})
2010, 11, 12, 13, 14, 19strlemor1OLD 16243 1 (Fun 𝐺 ∧ dom 𝐺 ⊆ (1...𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cun 3730  wss 3732  {csn 4334  {cpr 4336  {ctp 4338  cop 4340   class class class wbr 4809  ccnv 5276  dom cdm 5277  Fun wfun 6062  (class class class)co 6842  1c1 10190   < clt 10328  cn 11274  0cn0 11538  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator