Theorem swrd0fvOLD 13691

Description: Obsolete version of pfxfv 13724 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
swrd0fvOLD	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Proof of Theorem swrd0fvOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2		elfznn0 12686	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
3		0elfz 12690	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
4	2, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝐿))
5	4	3ad2ant2 1165	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 0 ∈ (0...𝐿))
6		simp2 1168	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7		elfzelz 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
8	7	zcnd 11772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
9		subid1 10594	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℂ → (𝐿 − 0) = 𝐿)
10	9	eqcomd 2806	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℂ → 𝐿 = (𝐿 − 0))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
12	11	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
13	12	oveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^𝐿) = (0..^(𝐿 − 0)))
14	13	eleq2d 2865	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
15	14	biimp3a 1594	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))
16		swrdfv 13673	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
17	1, 5, 6, 15, 16	syl31anc 1493	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
18		elfzoelz 12724	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
19	18	zcnd 11772	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℂ)
20	19	addid1d 10527	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
21	20	3ad2ant3 1166	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
22	21	fveq2d 6416	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(𝐼 + 0)) = (𝑊‘𝐼))
23	17, 22	eqtrd 2834	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘𝐼))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ⟨cop 4375  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  ℂcc 10223  0cc0 10225   + caddc 10228   − cmin 10557  ℕ₀cn0 11579  ...cfz 12579  ..^cfzo 12719  ♯chash 13369  Word cword 13533   substr csubstr 13663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-er 7983  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-hash 13370  df-word 13534  df-substr 13664

This theorem is referenced by:  swrd0fv0OLD  13692  swrdtrcfvOLD  13693  swrd0fvlswOLD  13695  swrdeqOLD  13696  wwlksm1edgOLD  27138  wwlksnredOLD  27160  clwwlkinwwlkOLD  27348  clwwlkfOLD  27355  wwlksubclwwlkOLD  27375  clwlksfclwwlkOLD  27402  dlwwlknonclwlknonf1olem1OLD  27734