Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0fvlsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0fvlsw 13652
 Description: The last symbol in a left-anchored subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0fvlsw ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Proof of Theorem swrd0fvlsw
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13627 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉)
21adantr 466 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉)
3 lsw 13548 . . 3 ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 → (lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1)))
5 fz1ssfz0 12643 . . . . 5 (1...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
65sseli 3748 . . . 4 (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7 swrd0len 13630 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = 𝐿)
86, 7sylan2 580 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = 𝐿)
98fvoveq1d 6818 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘(𝐿 − 1)))
10 simpl 468 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
116adantl 467 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12 elfznn 12577 . . . . 5 (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
13 fzo0end 12768 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
1514adantl 467 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
16 swrd0fv 13648 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
1710, 11, 15, 16syl3anc 1476 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
184, 9, 173eqtrd 2809 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4323  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796  0cc0 10142  1c1 10143   − cmin 10472  ℕcn 11226  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13487  lastSclsw 13488   substr csubstr 13491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-lsw 13496  df-substr 13499 This theorem is referenced by:  swrdtrcfvl  13659  wwlksnredwwlkn  27039  wwlksnextproplem2  27055  clwwlkinwwlk  27196  clwwlkf  27203  clwlksfclwwlkOLD  27243  numclwlk2lem2f  27568  numclwlk2lem2fOLD  27575
 Copyright terms: Public domain W3C validator