MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0fvlsw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0fvlsw 13686
Description: The last symbol in a left-anchored subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0fvlsw ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))

Proof of Theorem swrd0fvlsw
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13661 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉)
21adantr 468 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉)
3 lsw 13582 . . 3 ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩) ∈ Word 𝑉 → (lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1)))
42, 3syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1)))
5 fz1ssfz0 12678 . . . . 5 (1...(♯‘𝑊)) ⊆ (0...(♯‘𝑊))
65sseli 3805 . . . 4 (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7 swrd0len 13664 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = 𝐿)
86, 7sylan2 582 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = 𝐿)
98fvoveq1d 6905 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘((♯‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) − 1)) = ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘(𝐿 − 1)))
10 simpl 470 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
116adantl 469 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
12 elfznn 12612 . . . . 5 (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ)
13 fzo0end 12803 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
1412, 13syl 17 . . . 4 (𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊)) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
1514adantl 469 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿))
16 swrd0fv 13682 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (𝐿 − 1) ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
1710, 11, 15, 16syl3anc 1483 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘(𝐿 − 1)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
184, 9, 173eqtrd 2855 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (1...(♯‘𝑊))) → (lastS‘(𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)) = (𝑊‘(𝐿 − 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  cop 4387  cfv 6110  (class class class)co 6883  0cc0 10230  1c1 10231  cmin 10560  cn 11314  ...cfz 12568  ..^cfzo 12708  chash 13356  Word cword 13521  lastSclsw 13522   substr csubstr 13525
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188  ax-cnex 10286  ax-resscn 10287  ax-1cn 10288  ax-icn 10289  ax-addcl 10290  ax-addrcl 10291  ax-mulcl 10292  ax-mulrcl 10293  ax-mulcom 10294  ax-addass 10295  ax-mulass 10296  ax-distr 10297  ax-i2m1 10298  ax-1ne0 10299  ax-1rid 10300  ax-rnegex 10301  ax-rrecex 10302  ax-cnre 10303  ax-pre-lttri 10304  ax-pre-lttrn 10305  ax-pre-ltadd 10306  ax-pre-mulgt0 10307
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5906  df-ord 5952  df-on 5953  df-lim 5954  df-suc 5955  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-mpt2 6888  df-om 7305  df-1st 7407  df-2nd 7408  df-wrecs 7651  df-recs 7713  df-rdg 7751  df-1o 7805  df-er 7988  df-en 8202  df-dom 8203  df-sdom 8204  df-fin 8205  df-card 9057  df-pnf 10370  df-mnf 10371  df-xr 10372  df-ltxr 10373  df-le 10374  df-sub 10562  df-neg 10563  df-nn 11315  df-n0 11579  df-z 11663  df-uz 11924  df-fz 12569  df-fzo 12709  df-hash 13357  df-word 13529  df-lsw 13530  df-substr 13533
This theorem is referenced by:  swrdtrcfvl  13693  wwlksnredwwlkn  27054  wwlksnextproplem2  27070  clwwlkinwwlk  27211  clwwlkf  27218  clwlksfclwwlkOLD  27258  numclwlk2lem2f  27579  numclwlk2lem2fOLD  27586
  Copyright terms: Public domain W3C validator