MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatin12lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatin12lem3 13754
Description: Lemma 3 for pfxccatin12 13755 and swrdccatin12OLD 13756. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin2.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
swrdccatin12lem3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))

Proof of Theorem swrdccatin12lem3
StepHypRef Expression
1 simpll 783 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
2 elfzo0 12724 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)))
3 swrdccatin2.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (♯‘𝐴)
4 lencl 13512 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
5 elfz2nn0 12645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿))
6 nn0addcl 11580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
76ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
873ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
98com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑀 ∈ ℕ0 → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1093ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0))
1110imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0)
12 elnnz 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐿𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿𝑀)))
13 nn0re 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
14 nn0re 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
15 posdif 10780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿𝑀)))
1613, 14, 15syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿 ↔ 0 < (𝐿𝑀)))
17 elnn0z 11642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑀 ∈ ℕ0 ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀))
18 0red 10301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
19 zre 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
2114adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
22 lelttr 10387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
2318, 20, 21, 22syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 0 < 𝐿))
24 nn0z 11653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
2524anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
26 elnnz 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐿))
2725, 26sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ)
2827ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝐿 ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
2928adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
3023, 29syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝑀𝑀 < 𝐿) → 𝐿 ∈ ℕ))
3130expd 404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝑀 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3231impancom 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀) → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3317, 32sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐿 ∈ ℕ0 → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ)))
3433imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝐿𝐿 ∈ ℕ))
3516, 34sylbird 251 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐿𝑀) → 𝐿 ∈ ℕ))
3635com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (0 < (𝐿𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
3736adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝐿𝑀) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
3812, 37sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐿𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
39383ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℕ))
4039com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
41403adant3 1162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → 𝐿 ∈ ℕ))
4241imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → 𝐿 ∈ ℕ)
43 nn0re 11553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
4443adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝐾 ∈ ℝ)
45133ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → 𝑀 ∈ ℝ)
4645adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝑀 ∈ ℝ)
47143ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → 𝐿 ∈ ℝ)
4847adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → 𝐿 ∈ ℝ)
4944, 46, 48ltaddsubd 10886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿)) → ((𝐾 + 𝑀) < 𝐿𝐾 < (𝐿𝑀)))
5049exbiri 845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 < (𝐿𝑀) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
5150com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝐾 < (𝐿𝑀) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
5251imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
53523adant2 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
5453impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)
5511, 42, 543jca 1158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) ∧ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
5655ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
5756a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0𝑀𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
585, 57sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
5958imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
60592a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
61 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0))
62 eleq1 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ 𝐿 ∈ ℕ))
63 breq2 4815 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴) ↔ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))
6462, 633anbi23d 1563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))
6564imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))) ↔ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿))))
6665imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → (((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))) ↔ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < 𝐿)))))
6760, 61, 663imtr4d 285 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝐴) = 𝐿 → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
6867eqcoms 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 = (♯‘𝐴) → ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))))
693, 4, 68mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
7069adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))))
7170imp 395 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
7271com12 32 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝐾 < (𝐿𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
732, 72sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
7473adantl 473 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴))))
7574impcom 396 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
76 elfzo0 12724 . . . . . 6 ((𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)) ↔ ((𝐾 + 𝑀) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐴) ∈ ℕ ∧ (𝐾 + 𝑀) < (♯‘𝐴)))
7775, 76sylibr 225 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
78 df-3an 1109 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
791, 77, 78sylanbrc 578 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))))
80 ccatval1 13556 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝐾 + 𝑀) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
8179, 80syl 17 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
823swrdccatin12lem2c 13751 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
8382adantr 472 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))))
84 simprl 787 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
85 swrdfv 13634 . . . 4 ((((𝐴 ++ 𝐵) ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘(𝐴 ++ 𝐵)))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
8683, 84, 85syl2anc 579 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝐾 + 𝑀)))
87 simpll 783 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
8887adantr 472 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
89 simprl 787 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
9089adantr 472 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝑀 ∈ (0...𝐿))
913eleq1i 2835 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
92 elnn0uz 11932 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (ℤ‘0))
93 eluzfz2 12563 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (ℤ‘0) → 𝐿 ∈ (0...𝐿))
9492, 93sylbi 208 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...𝐿))
953eqcomi 2774 . . . . . . . . 9 (♯‘𝐴) = 𝐿
9695oveq2i 6857 . . . . . . . 8 (0...(♯‘𝐴)) = (0...𝐿)
9794, 96syl6eleqr 2855 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
9891, 97sylbir 226 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
994, 98syl 17 . . . . 5 (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
10099ad3antrrr 721 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴)))
101 simprr 789 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))
102 swrdfv 13634 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝐴))) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
10388, 90, 100, 101, 102syl31anc 1492 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾) = (𝐴‘(𝐾 + 𝑀)))
10481, 86, 1033eqtr4d 2809 . 2 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀)))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾))
105104ex 401 1 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ∧ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿𝑀))) → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘𝐾) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩)‘𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cop 4342   class class class wbr 4811  cfv 6070  (class class class)co 6846  cr 10192  0cc0 10193   + caddc 10196   < clt 10332  cle 10333  cmin 10525  cn 11279  0cn0 11543  cz 11629  cuz 11893  ...cfz 12540  ..^cfzo 12680  chash 13328  Word cword 13493   ++ cconcat 13549   substr csubstr 13624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4932  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7151  ax-cnex 10249  ax-resscn 10250  ax-1cn 10251  ax-icn 10252  ax-addcl 10253  ax-addrcl 10254  ax-mulcl 10255  ax-mulrcl 10256  ax-mulcom 10257  ax-addass 10258  ax-mulass 10259  ax-distr 10260  ax-i2m1 10261  ax-1ne0 10262  ax-1rid 10263  ax-rnegex 10264  ax-rrecex 10265  ax-cnre 10266  ax-pre-lttri 10267  ax-pre-lttrn 10268  ax-pre-ltadd 10269  ax-pre-mulgt0 10270
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-pss 3750  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-tp 4341  df-op 4343  df-uni 4597  df-int 4636  df-iun 4680  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-tr 4914  df-id 5187  df-eprel 5192  df-po 5200  df-so 5201  df-fr 5238  df-we 5240  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-pred 5867  df-ord 5913  df-on 5914  df-lim 5915  df-suc 5916  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-riota 6807  df-ov 6849  df-oprab 6850  df-mpt2 6851  df-om 7268  df-1st 7370  df-2nd 7371  df-wrecs 7614  df-recs 7676  df-rdg 7714  df-1o 7768  df-oadd 7772  df-er 7951  df-en 8165  df-dom 8166  df-sdom 8167  df-fin 8168  df-card 9020  df-pnf 10334  df-mnf 10335  df-xr 10336  df-ltxr 10337  df-le 10338  df-sub 10527  df-neg 10528  df-nn 11280  df-n0 11544  df-z 11630  df-uz 11894  df-fz 12541  df-fzo 12681  df-hash 13329  df-word 13494  df-concat 13550  df-substr 13625
This theorem is referenced by:  pfxccatin12  13755  swrdccatin12OLD  13756
  Copyright terms: Public domain W3C validator