Theorem swrdccatwrdOLD 13807

Description: Obsolete proof of pfxlswccat 13806 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
swrdccatwrdOLD	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Proof of Theorem swrdccatwrdOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lennncl 13601	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2		fzo0end 12862	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3	1, 2	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
4		swrds1 13748	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
5	3, 4	syldan 585	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
6		nncn 11366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
7		1cnd 10358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
8	6, 7	npcand 10724	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
9	8	eqcomd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
10	1, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
11	10	opeq2d 4632	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
12	11	oveq2d 6926	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
13		lsw 13631	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
14	13	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
15	14	s1eqd 13668	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
16	5, 12, 15	3eqtr4rd 2872	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩))
17	16	oveq2d 6926	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))
18		nnm1nn0 11668	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
19		0elfz 12738	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
20	18, 19	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
21		1nn0 11643	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
22	21	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
23		nnnn0 11633	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
24		nnge1 11387	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ≤ (♯‘𝑊))
25		elfz2nn0 12732	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
26	22, 23, 24, 25	syl3anbrc 1447	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
27		elfz1end 12671	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
28	27	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
29		fz0fzdiffz0 12750	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
30	26, 28, 29	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
31		nn0fz0 12739	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
32	31	biimpi 208	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
33	23, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
34	20, 30, 33	3jca 1162	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
35	1, 34	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
36		ccatswrd 13753	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
37	35, 36	syldan 585	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
38		swrdidOLD 13722	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
39	38	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
40	17, 37, 39	3eqtrd 2865	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  ∅c0 4146  ⟨cop 4405   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   ≤ cle 10399   − cmin 10592  ℕcn 11357  ℕ₀cn0 11625  ...cfz 12626  ..^cfzo 12767  ♯chash 13417  Word cword 13581  lastSclsw 13629   ++ cconcat 13637  ⟨“cs1 13662   substr csubstr 13707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-card 9085  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-hash 13418  df-word 13582  df-lsw 13630  df-concat 13638  df-s1 13663  df-substr 13708

This theorem is referenced by:  ccats1swrdeqOLD  13809  wrdindOLD  13820  wrd2indOLD  13822  psgnunilem5OLD  18272  wwlksnextwrdOLD  27223  iwrdsplitOLD  30991  signsvtn0OLD  31191  signstfveq0OLD  31199