Theorem swrdn0OLD 13678

Description: Obsolete version of pfxn0 13726 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
swrdn0OLD	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)

Proof of Theorem swrdn0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbfzo0 12760	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) ↔ 𝑁 ∈ ℕ)
2		ne0i 4120	. . . 4 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑁) → (0..^𝑁) ≠ ∅)
3	1, 2	sylbir 227	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0..^𝑁) ≠ ∅)
4	3	3ad2ant2 1165	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (0..^𝑁) ≠ ∅)
5		simp1 1167	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6		nnnn0 11585	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7	6	3ad2ant2 1165	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		lencl 13550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9	8	3ad2ant1 1164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		simp3 1169	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ≤ (♯‘𝑊))
11		elfz2nn0 12682	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)))
12	7, 9, 10, 11	syl3anbrc 1444	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13		swrd0fOLD 13675	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉)
14	5, 12, 13	syl2anc 580	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉)
15		f0dom0 6303	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉 → ((0..^𝑁) = ∅ ↔ (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅))
16	15	bicomd 215	. . . 4 ⊢ ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩):(0..^𝑁)⟶𝑉 → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅ ↔ (0..^𝑁) = ∅))
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) = ∅ ↔ (0..^𝑁) = ∅))
18	17	necon3bid 3014	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅ ↔ (0..^𝑁) ≠ ∅))
19	4, 18	mpbird 249	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, 𝑁⟩) ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ≠ wne 2970  ∅c0 4114  ⟨cop 4373   class class class wbr 4842  ⟶wf 6096  ‘cfv 6100  (class class class)co 6877  0cc0 10223   ≤ cle 10363  ℕcn 11311  ℕ₀cn0 11577  ...cfz 12577  ..^cfzo 12717  ♯chash 13367  Word cword 13531   substr csubstr 13661

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2776  ax-rep 4963  ax-sep 4974  ax-nul 4982  ax-pow 5034  ax-pr 5096  ax-un 7182  ax-cnex 10279  ax-resscn 10280  ax-1cn 10281  ax-icn 10282  ax-addcl 10283  ax-addrcl 10284  ax-mulcl 10285  ax-mulrcl 10286  ax-mulcom 10287  ax-addass 10288  ax-mulass 10289  ax-distr 10290  ax-i2m1 10291  ax-1ne0 10292  ax-1rid 10293  ax-rnegex 10294  ax-rrecex 10295  ax-cnre 10296  ax-pre-lttri 10297  ax-pre-lttrn 10298  ax-pre-ltadd 10299  ax-pre-mulgt0 10300

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2785  df-cleq 2791  df-clel 2794  df-nfc 2929  df-ne 2971  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3386  df-sbc 3633  df-csb 3728  df-dif 3771  df-un 3773  df-in 3775  df-ss 3782  df-pss 3784  df-nul 4115  df-if 4277  df-pw 4350  df-sn 4368  df-pr 4370  df-tp 4372  df-op 4374  df-uni 4628  df-int 4667  df-iun 4711  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5897  df-ord 5943  df-on 5944  df-lim 5945  df-suc 5946  df-iota 6063  df-fun 6102  df-fn 6103  df-f 6104  df-f1 6105  df-fo 6106  df-f1o 6107  df-fv 6108  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7400  df-2nd 7401  df-wrecs 7644  df-recs 7706  df-rdg 7744  df-1o 7798  df-oadd 7802  df-er 7981  df-en 8195  df-dom 8196  df-sdom 8197  df-fin 8198  df-card 9050  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10557  df-neg 10558  df-nn 11312  df-n0 11578  df-z 11664  df-uz 11928  df-fz 12578  df-fzo 12718  df-hash 13368  df-word 13532  df-substr 13662

This theorem is referenced by:  wwlksnredOLD  27154  clwlkclwwlkOLD  27289  clwwlkinwwlkOLD  27342  clwlksfclwwlkOLD  27396