Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachltOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachltOLD 42238
Description: Obsolete version of tgoldbachlt 42232 as of 9-Sep-2021. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachltOLD 𝑚 ∈ ℕ ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem tgoldbachltOLD
StepHypRef Expression
1 8nn0 11517 . . . 4 8 ∈ ℕ0
2 8nn 11393 . . . 4 8 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11720 . . 3 88 ∈ ℕ
4 10nnOLD 11395 . . . 4 10 ∈ ℕ
5 2nn0 11511 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
6 9nn0 11518 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11714 . . . 4 29 ∈ ℕ0
8 nnexpcl 13080 . . . 4 ((10 ∈ ℕ ∧ 29 ∈ ℕ0) → (10↑29) ∈ ℕ)
94, 7, 8mp2an 672 . . 3 (10↑29) ∈ ℕ
103, 9nnmulcli 11246 . 2 (88 · (10↑29)) ∈ ℕ
11 id 22 . . 3 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → (88 · (10↑29)) ∈ ℕ)
12 breq2 4790 . . . . 5 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ↔ (8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29))))
13 breq2 4790 . . . . . . . 8 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (𝑛 < 𝑚𝑛 < (88 · (10↑29))))
1413anbi2d 614 . . . . . . 7 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) ↔ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))))
1514imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
1615ralbidv 3135 . . . . 5 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
1712, 16anbi12d 616 . . . 4 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )) ↔ ((8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29)) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
1817adantl 467 . . 3 (((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑚 = (88 · (10↑29))) → (((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )) ↔ ((8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29)) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
19 simplr 752 . . . . . . 7 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 𝑛 ∈ Odd )
20 simprl 754 . . . . . . 7 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 7 < 𝑛)
21 simprr 756 . . . . . . 7 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 𝑛 < (88 · (10↑29)))
22 tgblthelfgottOLD 42237 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
2423ex 397 . . . . 5 (((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) → ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
2524ralrimiva 3115 . . . 4 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
262, 9nnmulcli 11246 . . . . . . 7 (8 · (10↑29)) ∈ ℕ
2726nngt0i 11256 . . . . . 6 0 < (8 · (10↑29))
2826nnrei 11231 . . . . . . 7 (8 · (10↑29)) ∈ ℝ
29 3nn0 11512 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
30 0nn0 11509 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 11714 . . . . . . . . . 10 30 ∈ ℕ0
32 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℕ ∧ 30 ∈ ℕ0) → (10↑30) ∈ ℕ)
334, 31, 32mp2an 672 . . . . . . . . 9 (10↑30) ∈ ℕ
342, 33nnmulcli 11246 . . . . . . . 8 (8 · (10↑30)) ∈ ℕ
3534nnrei 11231 . . . . . . 7 (8 · (10↑30)) ∈ ℝ
3628, 35ltaddposi 10779 . . . . . 6 (0 < (8 · (10↑29)) ↔ (8 · (10↑30)) < ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29))))
3727, 36mpbi 220 . . . . 5 (8 · (10↑30)) < ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
38 dfdecOLD 11697 . . . . . . 7 88 = ((10 · 8) + 8)
3938oveq1i 6803 . . . . . 6 (88 · (10↑29)) = (((10 · 8) + 8) · (10↑29))
404, 2nnmulcli 11246 . . . . . . . 8 (10 · 8) ∈ ℕ
4140nncni 11232 . . . . . . 7 (10 · 8) ∈ ℂ
42 8cn 11308 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
439nncni 11232 . . . . . . 7 (10↑29) ∈ ℂ
4441, 42, 43adddiri 10253 . . . . . 6 (((10 · 8) + 8) · (10↑29)) = (((10 · 8) · (10↑29)) + (8 · (10↑29)))
4541, 43mulcomi 10248 . . . . . . . . 9 ((10 · 8) · (10↑29)) = ((10↑29) · (10 · 8))
464nncni 11232 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℂ
4743, 46, 42mulassi 10251 . . . . . . . . 9 (((10↑29) · 10) · 8) = ((10↑29) · (10 · 8))
48 nncn 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (10 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
497a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (10 ∈ ℕ → 29 ∈ ℕ0)
5048, 49expp1d 13216 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℕ → (10↑(29 + 1)) = ((10↑29) · 10))
514, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (10↑(29 + 1)) = ((10↑29) · 10)
5251eqcomi 2780 . . . . . . . . . 10 ((10↑29) · 10) = (10↑(29 + 1))
5352oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 (((10↑29) · 10) · 8) = ((10↑(29 + 1)) · 8)
5445, 47, 533eqtr2i 2799 . . . . . . . 8 ((10 · 8) · (10↑29)) = ((10↑(29 + 1)) · 8)
5554oveq1i 6803 . . . . . . 7 (((10 · 8) · (10↑29)) + (8 · (10↑29))) = (((10↑(29 + 1)) · 8) + (8 · (10↑29)))
56 2p1e3 11353 . . . . . . . . . . 11 (2 + 1) = 3
57 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 29 = 29
585, 56, 57decsucc 11752 . . . . . . . . . 10 (29 + 1) = 30
5958oveq2i 6804 . . . . . . . . 9 (10↑(29 + 1)) = (10↑30)
6059oveq1i 6803 . . . . . . . 8 ((10↑(29 + 1)) · 8) = ((10↑30) · 8)
6160oveq1i 6803 . . . . . . 7 (((10↑(29 + 1)) · 8) + (8 · (10↑29))) = (((10↑30) · 8) + (8 · (10↑29)))
6233nncni 11232 . . . . . . . 8 (10↑30) ∈ ℂ
63 mulcom 10224 . . . . . . . . 9 (((10↑30) ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℂ) → ((10↑30) · 8) = (8 · (10↑30)))
6463oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (((10↑30) ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℂ) → (((10↑30) · 8) + (8 · (10↑29))) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29))))
6562, 42, 64mp2an 672 . . . . . . 7 (((10↑30) · 8) + (8 · (10↑29))) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
6655, 61, 653eqtri 2797 . . . . . 6 (((10 · 8) · (10↑29)) + (8 · (10↑29))) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
6739, 44, 663eqtri 2797 . . . . 5 (88 · (10↑29)) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
6837, 67breqtrri 4813 . . . 4 (8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29))
6925, 68jctil 509 . . 3 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → ((8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29)) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
7011, 18, 69rspcedvd 3467 . 2 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
7110, 70ax-mp 5 1 𝑚 ∈ ℕ ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cn 11222  2c2 11272  3c3 11273  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  10c10 11280  0cn0 11494  cdc 11695  cexp 13067   Odd codd 42066   GoldbachOdd cgbo 42163
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-bgbltosilvaOLD 42234  ax-hgprmladderOLD 42236
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-10OLD 11289  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593  df-iccp 41878  df-even 42067  df-odd 42068  df-gbe 42164  df-gbo 42166
This theorem is referenced by:  tgoldbachOLD  42240
  Copyright terms: Public domain W3C validator