Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgoldbachltOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgoldbachltOLD 42238
 Description: Obsolete version of tgoldbachlt 42232 as of 9-Sep-2021. (Contributed by AV, 4-Aug-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
tgoldbachltOLD 𝑚 ∈ ℕ ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛

Proof of Theorem tgoldbachltOLD
StepHypRef Expression
1 8nn0 11517 . . . 4 8 ∈ ℕ0
2 8nn 11393 . . . 4 8 ∈ ℕ
31, 2decnncl 11720 . . 3 88 ∈ ℕ
4 10nnOLD 11395 . . . 4 10 ∈ ℕ
5 2nn0 11511 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
6 9nn0 11518 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11714 . . . 4 29 ∈ ℕ0
8 nnexpcl 13080 . . . 4 ((10 ∈ ℕ ∧ 29 ∈ ℕ0) → (10↑29) ∈ ℕ)
94, 7, 8mp2an 672 . . 3 (10↑29) ∈ ℕ
103, 9nnmulcli 11246 . 2 (88 · (10↑29)) ∈ ℕ
11 id 22 . . 3 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → (88 · (10↑29)) ∈ ℕ)
12 breq2 4790 . . . . 5 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ↔ (8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29))))
13 breq2 4790 . . . . . . . 8 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (𝑛 < 𝑚𝑛 < (88 · (10↑29))))
1413anbi2d 614 . . . . . . 7 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) ↔ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))))
1514imbi1d 330 . . . . . 6 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
1615ralbidv 3135 . . . . 5 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ) ↔ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
1712, 16anbi12d 616 . . . 4 (𝑚 = (88 · (10↑29)) → (((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )) ↔ ((8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29)) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
1817adantl 467 . . 3 (((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑚 = (88 · (10↑29))) → (((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )) ↔ ((8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29)) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))))
19 simplr 752 . . . . . . 7 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 𝑛 ∈ Odd )
20 simprl 754 . . . . . . 7 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 7 < 𝑛)
21 simprr 756 . . . . . . 7 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 𝑛 < (88 · (10↑29)))
22 tgblthelfgottOLD 42237 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ Odd ∧ 7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
2319, 20, 21, 22syl3anc 1476 . . . . . 6 ((((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) ∧ (7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29)))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )
2423ex 397 . . . . 5 (((88 · (10↑29)) ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ Odd ) → ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
2524ralrimiva 3115 . . . 4 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
262, 9nnmulcli 11246 . . . . . . 7 (8 · (10↑29)) ∈ ℕ
2726nngt0i 11256 . . . . . 6 0 < (8 · (10↑29))
2826nnrei 11231 . . . . . . 7 (8 · (10↑29)) ∈ ℝ
29 3nn0 11512 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℕ0
30 0nn0 11509 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
3129, 30deccl 11714 . . . . . . . . . 10 30 ∈ ℕ0
32 nnexpcl 13080 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℕ ∧ 30 ∈ ℕ0) → (10↑30) ∈ ℕ)
334, 31, 32mp2an 672 . . . . . . . . 9 (10↑30) ∈ ℕ
342, 33nnmulcli 11246 . . . . . . . 8 (8 · (10↑30)) ∈ ℕ
3534nnrei 11231 . . . . . . 7 (8 · (10↑30)) ∈ ℝ
3628, 35ltaddposi 10779 . . . . . 6 (0 < (8 · (10↑29)) ↔ (8 · (10↑30)) < ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29))))
3727, 36mpbi 220 . . . . 5 (8 · (10↑30)) < ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
38 dfdecOLD 11697 . . . . . . 7 88 = ((10 · 8) + 8)
3938oveq1i 6803 . . . . . 6 (88 · (10↑29)) = (((10 · 8) + 8) · (10↑29))
404, 2nnmulcli 11246 . . . . . . . 8 (10 · 8) ∈ ℕ
4140nncni 11232 . . . . . . 7 (10 · 8) ∈ ℂ
42 8cn 11308 . . . . . . 7 8 ∈ ℂ
439nncni 11232 . . . . . . 7 (10↑29) ∈ ℂ
4441, 42, 43adddiri 10253 . . . . . 6 (((10 · 8) + 8) · (10↑29)) = (((10 · 8) · (10↑29)) + (8 · (10↑29)))
4541, 43mulcomi 10248 . . . . . . . . 9 ((10 · 8) · (10↑29)) = ((10↑29) · (10 · 8))
464nncni 11232 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℂ
4743, 46, 42mulassi 10251 . . . . . . . . 9 (((10↑29) · 10) · 8) = ((10↑29) · (10 · 8))
48 nncn 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (10 ∈ ℕ → 10 ∈ ℂ)
497a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (10 ∈ ℕ → 29 ∈ ℕ0)
5048, 49expp1d 13216 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℕ → (10↑(29 + 1)) = ((10↑29) · 10))
514, 50ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 (10↑(29 + 1)) = ((10↑29) · 10)
5251eqcomi 2780 . . . . . . . . . 10 ((10↑29) · 10) = (10↑(29 + 1))
5352oveq1i 6803 . . . . . . . . 9 (((10↑29) · 10) · 8) = ((10↑(29 + 1)) · 8)
5445, 47, 533eqtr2i 2799 . . . . . . . 8 ((10 · 8) · (10↑29)) = ((10↑(29 + 1)) · 8)
5554oveq1i 6803 . . . . . . 7 (((10 · 8) · (10↑29)) + (8 · (10↑29))) = (((10↑(29 + 1)) · 8) + (8 · (10↑29)))
56 2p1e3 11353 . . . . . . . . . . 11 (2 + 1) = 3
57 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 29 = 29
585, 56, 57decsucc 11752 . . . . . . . . . 10 (29 + 1) = 30
5958oveq2i 6804 . . . . . . . . 9 (10↑(29 + 1)) = (10↑30)
6059oveq1i 6803 . . . . . . . 8 ((10↑(29 + 1)) · 8) = ((10↑30) · 8)
6160oveq1i 6803 . . . . . . 7 (((10↑(29 + 1)) · 8) + (8 · (10↑29))) = (((10↑30) · 8) + (8 · (10↑29)))
6233nncni 11232 . . . . . . . 8 (10↑30) ∈ ℂ
63 mulcom 10224 . . . . . . . . 9 (((10↑30) ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℂ) → ((10↑30) · 8) = (8 · (10↑30)))
6463oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (((10↑30) ∈ ℂ ∧ 8 ∈ ℂ) → (((10↑30) · 8) + (8 · (10↑29))) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29))))
6562, 42, 64mp2an 672 . . . . . . 7 (((10↑30) · 8) + (8 · (10↑29))) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
6655, 61, 653eqtri 2797 . . . . . 6 (((10 · 8) · (10↑29)) + (8 · (10↑29))) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
6739, 44, 663eqtri 2797 . . . . 5 (88 · (10↑29)) = ((8 · (10↑30)) + (8 · (10↑29)))
6837, 67breqtrri 4813 . . . 4 (8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29))
6925, 68jctil 509 . . 3 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → ((8 · (10↑30)) < (88 · (10↑29)) ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < (88 · (10↑29))) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
7011, 18, 69rspcedvd 3467 . 2 ((88 · (10↑29)) ∈ ℕ → ∃𝑚 ∈ ℕ ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd )))
7110, 70ax-mp 5 1 𝑚 ∈ ℕ ((8 · (10↑30)) < 𝑚 ∧ ∀𝑛 ∈ Odd ((7 < 𝑛𝑛 < 𝑚) → 𝑛 ∈ GoldbachOdd ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∀wral 3061  ∃wrex 3062   class class class wbr 4786  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  ℕcn 11222  2c2 11272  3c3 11273  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  10c10 11280  ℕ0cn0 11494  ;cdc 11695  ↑cexp 13067   Odd codd 42066   GoldbachOdd cgbo 42163 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-bgbltosilvaOLD 42234  ax-hgprmladderOLD 42236 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-10OLD 11289  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-ico 12386  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-prm 15593  df-iccp 41878  df-even 42067  df-odd 42068  df-gbe 42164  df-gbo 42166 This theorem is referenced by:  tgoldbachOLD  42240
 Copyright terms: Public domain W3C validator