MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uncdadom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uncdadom 9195
Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)
Assertion
Ref Expression
uncdadom ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem uncdadom
StepHypRef Expression
1 0ex 4924 . . . . 5 ∅ ∈ V
2 xpsneng 8201 . . . . 5 ((𝐴𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
31, 2mpan2 671 . . . 4 (𝐴𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
4 ensym 8158 . . . 4 ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
5 endom 8136 . . . 4 (𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
63, 4, 53syl 18 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
7 1on 7720 . . . . 5 1𝑜 ∈ On
8 xpsneng 8201 . . . . 5 ((𝐵𝑊 ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
97, 8mpan2 671 . . . 4 (𝐵𝑊 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
10 ensym 8158 . . . 4 ((𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}))
11 endom 8136 . . . 4 (𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}) → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
129, 10, 113syl 18 . . 3 (𝐵𝑊𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
13 xp01disj 7730 . . . 4 ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
14 undom 8204 . . . 4 (((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
1513, 14mpan2 671 . . 3 ((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
166, 12, 15syl2an 583 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
17 cdaval 9194 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
1816, 17breqtrrd 4814 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Vcvv 3351  cun 3721  cin 3722  c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786   × cxp 5247  Oncon0 5866  (class class class)co 6793  1𝑜c1o 7706  cen 8106  cdom 8107   +𝑐 ccda 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-cda 9192
This theorem is referenced by:  cdadom3  9212  unnum  9224  ficardun2  9227  pwsdompw  9228  unctb  9229  infunabs  9231  infcda  9232  infdif  9233
  Copyright terms: Public domain W3C validator