Theorem uncdadom 9195

Description: Cardinal addition dominates union. (Contributed by NM, 28-Sep-2004.)

Assertion

Ref	Expression
uncdadom	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Proof of Theorem uncdadom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4924	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2		xpsneng 8201	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∅ ∈ V) → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
3	1, 2	mpan2 671	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴)
4		ensym 8158	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ≈ 𝐴 → 𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}))
5		endom 8136	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≈ (𝐴 × {∅}) → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
6	3, 4, 5	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}))
7		1on 7720	. . . . 5 ⊢ 1𝑜 ∈ On
8		xpsneng 8201	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 1𝑜 ∈ On) → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
9	7, 8	mpan2 671	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵)
10		ensym 8158	. . . 4 ⊢ ((𝐵 × {1𝑜}) ≈ 𝐵 → 𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}))
11		endom 8136	. . . 4 ⊢ (𝐵 ≈ (𝐵 × {1𝑜}) → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜}))
13		xp01disj 7730	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅
14		undom 8204	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) ∧ ((𝐴 × {∅}) ∩ (𝐵 × {1𝑜})) = ∅) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
15	13, 14	mpan2 671	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ (𝐴 × {∅}) ∧ 𝐵 ≼ (𝐵 × {1𝑜})) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
16	6, 12, 15	syl2an 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
17		cdaval 9194	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 +𝑐 𝐵) = ((𝐴 × {∅}) ∪ (𝐵 × {1𝑜})))
18	16, 17	breqtrrd 4814	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ≼ (𝐴 +𝑐 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 382   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351   ∪ cun 3721   ∩ cin 3722  ∅c0 4063  {csn 4316   class class class wbr 4786   × cxp 5247  Oncon0 5866  (class class class)co 6793  1_𝑜c1o 7706   ≈ cen 8106   ≼ cdom 8107   +_𝑐 ccda 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-ord 5869  df-on 5870  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1o 7713  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-cda 9192

This theorem is referenced by:  cdadom3  9212  unnum  9224  ficardun2  9227  pwsdompw  9228  unctb  9229  infunabs  9231  infcda  9232  infdif  9233