Theorem wlkreslemOLD 27037

Description: Obsolete version of wlkreslem 27035 as of 30-Nov-2022. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkresOLD.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkresOLD.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkresOLD.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkresOLD.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
wlkresOLD.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
wlkresOLD.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
wlkresOLD.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
wlkresOLD.q	⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
wlkreslemOLD	⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Proof of Theorem wlkreslemOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
2		df-nel 3076	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∉ V ↔ ¬ 𝑆 ∈ V)
3		wlkresOLD.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		df-br 4889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
5		ne0i 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (Walks‘𝐺) ≠ ∅)
6		wlkresOLD.s	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7		wlkresOLD.v	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	syl6eq 2830	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺))
9	8	anim1i 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → ((Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑆 ∉ V))
10	9	ancomd 455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → (𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)))
11		wlk0prc 27018	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
12		eqneqall 2980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
13	10, 11, 12	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
14	13	expcom 404	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V)))
15	14	com13 88	. . . . . . . 8 ⊢ ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
16	5, 15	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
17	4, 16	sylbi 209	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
18	3, 17	mpcom 38	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V))
19	18	com12 32	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
20	2, 19	sylbir 227	. . 3 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
21	1, 20	pm2.61i 177	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
22		wlkresOLD.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
23		wlkresOLD.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
24	23	wlkf 26979	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25		wrdf 13610	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
26	25	ffund 6297	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → Fun 𝐹)
27	3, 24, 26	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
28		ovex 6956	. . . 4 ⊢ (0..^𝑁) ∈ V
29		resfunexg 6753	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
30	27, 28, 29	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
31	22, 30	syl5eqel 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ V)
32		wlkresOLD.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
33	7	wlkp 26981	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
34		ffun 6296	. . . . 5 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → Fun 𝑃)
35	3, 33, 34	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝑃)
36		ovex 6956	. . . 4 ⊢ (0...𝑁) ∈ V
37		resfunexg 6753	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝑃 ∧ (0...𝑁) ∈ V) → (𝑃 ↾ (0...𝑁)) ∈ V)
38	35, 36, 37	sylancl 580	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ↾ (0...𝑁)) ∈ V)
39	32, 38	syl5eqel 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ V)
40	21, 31, 39	3jca 1119	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ∉ wnel 3075  Vcvv 3398  ∅c0 4141  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888  dom cdm 5357   ↾ cres 5359   “ cima 5360  Fun wfun 6131  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  ...cfz 12648  ..^cfzo 12789  ♯chash 13441  Word cword 13605  Vtxcvtx 26361  iEdgciedg 26362  Walkscwlks 26961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-ifp 1047  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-word 13606  df-wlks 26964

This theorem is referenced by:  wlkresOLD  27038