Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkreslemOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkreslemOLD 27037
 Description: Obsolete version of wlkreslem 27035 as of 30-Nov-2022. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkresOLD.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkresOLD.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkresOLD.d (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkresOLD.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
wlkresOLD.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
wlkresOLD.e (𝜑 → (iEdg‘𝑆) = (𝐼 ↾ (𝐹 “ (0..^𝑁))))
wlkresOLD.h 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
wlkresOLD.q 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
Assertion
Ref Expression
wlkreslemOLD (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))

Proof of Theorem wlkreslemOLD
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . . 3 (𝑆 ∈ V → (𝜑𝑆 ∈ V))
2 df-nel 3076 . . . 4 (𝑆 ∉ V ↔ ¬ 𝑆 ∈ V)
3 wlkresOLD.d . . . . . 6 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 df-br 4889 . . . . . . 7 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
5 ne0i 4149 . . . . . . . 8 (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (Walks‘𝐺) ≠ ∅)
6 wlkresOLD.s . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7 wlkresOLD.v . . . . . . . . . . . . . 14 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
86, 7syl6eq 2830 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺))
98anim1i 608 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑆 ∉ V) → ((Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑆 ∉ V))
109ancomd 455 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑆 ∉ V) → (𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)))
11 wlk0prc 27018 . . . . . . . . . . 11 ((𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
12 eqneqall 2980 . . . . . . . . . . 11 ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
1310, 11, 123syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ∉ V) → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
1413expcom 404 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∉ V → (𝜑 → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V)))
1514com13 88 . . . . . . . 8 ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
165, 15syl 17 . . . . . . 7 (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
174, 16sylbi 209 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
183, 17mpcom 38 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V))
1918com12 32 . . . 4 (𝑆 ∉ V → (𝜑𝑆 ∈ V))
202, 19sylbir 227 . . 3 𝑆 ∈ V → (𝜑𝑆 ∈ V))
211, 20pm2.61i 177 . 2 (𝜑𝑆 ∈ V)
22 wlkresOLD.h . . 3 𝐻 = (𝐹 ↾ (0..^𝑁))
23 wlkresOLD.i . . . . . 6 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2423wlkf 26979 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝐹 ∈ Word dom 𝐼)
25 wrdf 13610 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶dom 𝐼)
2625ffund 6297 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word dom 𝐼 → Fun 𝐹)
273, 24, 263syl 18 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝐹)
28 ovex 6956 . . . 4 (0..^𝑁) ∈ V
29 resfunexg 6753 . . . 4 ((Fun 𝐹 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
3027, 28, 29sylancl 580 . . 3 (𝜑 → (𝐹 ↾ (0..^𝑁)) ∈ V)
3122, 30syl5eqel 2863 . 2 (𝜑𝐻 ∈ V)
32 wlkresOLD.q . . 3 𝑄 = (𝑃 ↾ (0...𝑁))
337wlkp 26981 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
34 ffun 6296 . . . . 5 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → Fun 𝑃)
353, 33, 343syl 18 . . . 4 (𝜑 → Fun 𝑃)
36 ovex 6956 . . . 4 (0...𝑁) ∈ V
37 resfunexg 6753 . . . 4 ((Fun 𝑃 ∧ (0...𝑁) ∈ V) → (𝑃 ↾ (0...𝑁)) ∈ V)
3835, 36, 37sylancl 580 . . 3 (𝜑 → (𝑃 ↾ (0...𝑁)) ∈ V)
3932, 38syl5eqel 2863 . 2 (𝜑𝑄 ∈ V)
4021, 31, 393jca 1119 1 (𝜑 → (𝑆 ∈ V ∧ 𝐻 ∈ V ∧ 𝑄 ∈ V))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   ∉ wnel 3075  Vcvv 3398  ∅c0 4141  ⟨cop 4404   class class class wbr 4888  dom cdm 5357   ↾ cres 5359   “ cima 5360  Fun wfun 6131  ⟶wf 6133  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  ...cfz 12648  ..^cfzo 12789  ♯chash 13441  Word cword 13605  Vtxcvtx 26361  iEdgciedg 26362  Walkscwlks 26961 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-ifp 1047  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-word 13606  df-wlks 26964 This theorem is referenced by:  wlkresOLD  27038
 Copyright terms: Public domain W3C validator