Theorem wrdeqs1catOLD 13810

Description: Obsolete proof of wrdeqs1cat 13809 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 9-May-2020.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
wrdeqs1catOLD	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))

Proof of Theorem wrdeqs1catOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 476	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
2		1nn0 11636	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
3		0elfz 12731	. . . 4 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...1))
4	2, 3	mp1i 13	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0...1))
5		wrdfin 13592	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → 𝑊 ∈ Fin)
6		1elfz0hash 13469	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Fin ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7	5, 6	sylan 577	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
8		lennncl 13594	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
9	8	nnnn0d 11678	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10		eluzfz2 12642	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ (ℤ≥‘0) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
11		nn0uz 12004	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
12	10, 11	eleq2s 2924	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
13	9, 12	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
14		ccatswrd 13746	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ (0 ∈ (0...1) ∧ 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
15	1, 4, 7, 13, 14	syl13anc 1497	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
16		0p1e1 11480	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
17	16	opeq2i 4627	. . . . 5 ⊢ ⟨0, (0 + 1)⟩ = ⟨0, 1⟩
18	17	oveq2i 6916	. . . 4 ⊢ (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, 1⟩)
19		0nn0 11635	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ ℕ0)
21		hashgt0 13467	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 < (♯‘𝑊))
22		elfzo0 12804	. . . . . 6 ⊢ (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
23	20, 8, 21, 22	syl3anbrc 1449	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24		swrds1 13741	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
25	23, 24	syldan 587	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (0 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
26	18, 25	syl5eqr 2875	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, 1⟩) = ⟨“(𝑊‘0)”⟩)
27	26	oveq1d 6920	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, 1⟩) ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)) = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))
28		swrdidOLD 13715	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
29	28	adantr 474	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
30	15, 27, 29	3eqtr3rd 2870	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝐴 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → 𝑊 = (⟨“(𝑊‘0)”⟩ ++ (𝑊 substr ⟨1, (♯‘𝑊)⟩)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∅c0 4144  ⟨cop 4403   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255   < clt 10391  ℕcn 11350  ℕ₀cn0 11618  ℤ_≥cuz 11968  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760  ♯chash 13410  Word cword 13574   ++ cconcat 13630  ⟨“cs1 13655   substr csubstr 13700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-card 9078  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-xnn0 11691  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-fzo 12761  df-hash 13411  df-word 13575  df-concat 13631  df-s1 13656  df-substr 13701

This theorem is referenced by: (None)