Theorem wrdexgOLD 13681

Description: Obsolete proof of wrdexg 13680 as of 29-Apr-2023. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexgOLD	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexgOLD

Dummy variables 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 13673	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)))
2		mapsspw 8240	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆)
3		elfzoelz 12852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (0..^𝑙) → 𝑠 ∈ ℤ)
4	3	ssriv 3856	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑙) ⊆ ℤ
5		xpss1 5422	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝑙) ⊆ ℤ → ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆)
7		sspwb 5194	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆) ↔ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
8	6, 7	mpbi 222	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
9	2, 8	sstri 3861	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
10	9	rgenw 3094	. . . 4 ⊢ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
11		iunss 4831	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
12	10, 11	mpbir 223	. . 3 ⊢ ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
13		zex 11800	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
14		xpexg 7288	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
15	13, 14	mpan 677	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
16	15	pwexd 5129	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
17		ssexg 5079	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∧ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
18	12, 16, 17	sylancr 578	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑𝑚 (0..^𝑙)) ∈ V)
19	1, 18	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2050  ∀wral 3082  Vcvv 3409   ⊆ wss 3823  𝒫 cpw 4416  ∪ ciun 4788   × cxp 5401  (class class class)co 6974   ↑_𝑚 cmap 8204  0cc0 10333  ℕ₀cn0 11705  ℤcz 11791  ..^cfzo 12847  Word cword 13670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-ral 3087  df-rex 3088  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-fv 6193  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-map 8206  df-pm 8207  df-neg 10671  df-z 11792  df-uz 12057  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-word 13671

This theorem is referenced by: (None)