Theorem wrdexgOLD 13875

Description: Obsolete proof of wrdexg 13874 as of 29-Apr-2023. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2016.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
wrdexgOLD	⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wrdexgOLD

Dummy variables 𝑠 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdval 13867	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 = ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)))
2		mapsspw 8445	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆)
3		elfzoelz 13041	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ (0..^𝑙) → 𝑠 ∈ ℤ)
4	3	ssriv 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑙) ⊆ ℤ
5		xpss1 5577	. . . . . . . 8 ⊢ ((0..^𝑙) ⊆ ℤ → ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆)
7		sspwb 5345	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ (ℤ × 𝑆) ↔ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
8	6, 7	mpbi 232	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 ((0..^𝑙) × 𝑆) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
9	2, 8	sstri 3979	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
10	9	rgenw 3153	. . . 4 ⊢ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
11		iunss 4972	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ↔ ∀𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆))
12	10, 11	mpbir 233	. . 3 ⊢ ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆)
13		zex 11993	. . . . 5 ⊢ ℤ ∈ V
14		xpexg 7476	. . . . 5 ⊢ ((ℤ ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝑉) → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
15	13, 14	mpan 688	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → (ℤ × 𝑆) ∈ V)
16	15	pwexd 5283	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V)
17		ssexg 5230	. . 3 ⊢ ((∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ⊆ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∧ 𝒫 (ℤ × 𝑆) ∈ V) → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
18	12, 16, 17	sylancr 589	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → ∪ 𝑙 ∈ ℕ0 (𝑆 ↑m (0..^𝑙)) ∈ V)
19	1, 18	eqeltrd 2916	1 ⊢ (𝑆 ∈ 𝑉 → Word 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  ∀wral 3141  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  𝒫 cpw 4542  ∪ ciun 4922   × cxp 5556  (class class class)co 7159   ↑_m cmap 8409  0cc0 10540  ℕ₀cn0 11900  ℤcz 11984  ..^cfzo 13036  Word cword 13864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-map 8411  df-pm 8412  df-neg 10876  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-word 13865

This theorem is referenced by: (None)