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Theorem wspthsnwspthsnonOLD 27055
Description: Obsolete version of wspthsnwspthsnon 27053 as of 13-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Mar-2018.) (Revised by AV, 16-May-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wspthsnwspthsnonOLD ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wspthsnwspthsnonOLD
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iswspthn 26970 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊)))
3 wwlksnwwlksnon.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43wwlksnwwlksnonOLD 27054 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
54anbi1d 617 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊)))
6 r19.41vv 3279 . . 3 (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊))
75, 6syl6bbr 280 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊)))
8 3anass 1109 . . . . . . . 8 ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
98a1i 11 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏) ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
10 simpr 473 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑎𝑉𝑏𝑉))
11 vex 3394 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
1211jctl 515 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) → (𝑓 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
133isspthonpth 26872 . . . . . . . 8 (((𝑎𝑉𝑏𝑉) ∧ (𝑓 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏))) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
1410, 12, 13syl2an 585 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
15 spthiswlk 26851 . . . . . . . . . 10 (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊𝑓(Walks‘𝐺)𝑊)
16 wlklenvm1 26744 . . . . . . . . . 10 (𝑓(Walks‘𝐺)𝑊 → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
173wwlknonOLD 26982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
1817adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
19 simpl2 1237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘0) = 𝑎)
20 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
2120adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))
22 wwlknbp2OLD 26966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
23 oveq1 6877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
2423adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
25 nn0cn 11565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
26 pncan1 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2827adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
2924, 28sylan9eq 2860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
3029ex 399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁))
3122, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁))
32313ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁))
3332imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
3421, 33eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (♯‘𝑓) = 𝑁)
3534fveq2d 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = (𝑊𝑁))
36 simpl3 1239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊𝑁) = 𝑏)
3735, 36eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)
3819, 37jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1))) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))
3938exp32 409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4039com12 32 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4140adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4241adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4318, 42sylbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
4443imp 395 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4544com12 32 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑓) = ((♯‘𝑊) − 1) → ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4615, 16, 453syl 18 . . . . . . . . 9 (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4746com12 32 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 → ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏)))
4847pm4.71d 553 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ∧ ((𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊‘(♯‘𝑓)) = 𝑏))))
499, 14, 483bitr4rd 303 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
5049exbidv 2012 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) ∧ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)) → (∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊 ↔ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊))
5150pm5.32da 570 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
523wspthnonOLDOLD 26984 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
5352adantl 469 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑊)))
5451, 53bitr4d 273 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
55542rexbidva 3244 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ∧ ∃𝑓 𝑓(SPaths‘𝐺)𝑊) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
562, 7, 553bitrd 296 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WSPathsN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WSPathsNOn 𝐺)𝑏)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2156  wrex 3097  Vcvv 3391   class class class wbr 4844  cfv 6097  (class class class)co 6870  cc 10215  0cc0 10217  1c1 10218   + caddc 10220  cmin 10547  0cn0 11555  chash 13333  Word cword 13498  Vtxcvtx 26087  Walkscwlks 26719  SPathscspths 26836  SPathsOncspthson 26838   WWalksN cwwlksn 26946   WWalksNOn cwwlksnon 26947   WSPathsN cwwspthsn 26948   WSPathsNOn cwwspthsnon 26949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175  ax-cnex 10273  ax-resscn 10274  ax-1cn 10275  ax-icn 10276  ax-addcl 10277  ax-addrcl 10278  ax-mulcl 10279  ax-mulrcl 10280  ax-mulcom 10281  ax-addass 10282  ax-mulass 10283  ax-distr 10284  ax-i2m1 10285  ax-1ne0 10286  ax-1rid 10287  ax-rnegex 10288  ax-rrecex 10289  ax-cnre 10290  ax-pre-lttri 10291  ax-pre-lttrn 10292  ax-pre-ltadd 10293  ax-pre-mulgt0 10294
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-ifp 1079  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-ov 6873  df-oprab 6874  df-mpt2 6875  df-om 7292  df-1st 7394  df-2nd 7395  df-wrecs 7638  df-recs 7700  df-rdg 7738  df-1o 7792  df-oadd 7796  df-er 7975  df-map 8090  df-pm 8091  df-en 8189  df-dom 8190  df-sdom 8191  df-fin 8192  df-card 9044  df-pnf 10357  df-mnf 10358  df-xr 10359  df-ltxr 10360  df-le 10361  df-sub 10549  df-neg 10550  df-nn 11302  df-n0 11556  df-z 11640  df-uz 11901  df-fz 12546  df-fzo 12686  df-hash 13334  df-word 13506  df-wlks 26722  df-wlkson 26723  df-trls 26816  df-trlson 26817  df-pths 26839  df-spths 26840  df-spthson 26842  df-wwlks 26950  df-wwlksn 26951  df-wwlksnon 26952  df-wspthsn 26953  df-wspthsnon 26954
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