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Theorem wwlksext2clwwlkOLD 27270
Description: Obsolete version of wwlksext2clwwlk 27269 as of 14-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Mar-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
clwwlkext2edg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksext2clwwlkOLD ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksext2clwwlkOLD
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 clwwlkext2edg.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
21wwlknbp 27025 . . 3 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉))
3 simp3 1168 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
43adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
5 s1cl 13572 . . . . . . . . 9 (𝑍𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
65adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
7 ccatcl 13544 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
84, 6, 7syl2an 589 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
98adantr 472 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
10 clwwlkext2edg.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edg‘𝐺)
111, 10wwlknp 27026 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
12 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1312adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
146ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
15 elfzo0 12716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
16 simp1 1166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
17 peano2nn 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
18173ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
19 nn0re 11547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑖 ∈ ℕ0𝑖 ∈ ℝ)
20193ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
21 nnre 11281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
22213ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
23 peano2re 10462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
25243ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
26 simp3 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
2721ltp1d 11207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
28273ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
2920, 22, 25, 26, 28lttrd 10451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < (𝑁 + 1))
30 elfzo0 12716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 + 1)))
3116, 18, 29, 30syl3anbrc 1443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑖 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
3215, 31sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
3332adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
34 oveq2 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
3534adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
3635eleq2d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
3736ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
3833, 37mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39 ccatval1 13547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
4013, 14, 38, 39syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊𝑖))
4140eqcomd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖))
42 fzonn0p1p1 12754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
4342adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
4434eleq2d 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
4544ad3antlr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
4643, 45mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
47 ccatval1 13547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
4813, 14, 46, 47syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
4948eqcomd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑊‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)))
5041, 49preq12d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))})
5150eleq1d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5251ralbidva 3131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5352biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5453ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
5554com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
56553impia 1145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5756com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5857adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
5958impcom 396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
60 oveq1 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
6160ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
62 nn0cn 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
6362ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
64 pncan1 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
6661, 65eqtr2d 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 = ((♯‘𝑊) − 1))
6766fveq2d 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)))
686adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
69 nn0p1gt0 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
7069ad2antll 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (𝑁 + 1))
71 breq2 4812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
7271ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
7370, 72mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (♯‘𝑊))
74 hashneq0 13356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7574ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
7673, 75mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ≠ ∅)
77 ccatval1lsw 13554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7812, 68, 76, 77syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
7967, 78eqtr2d 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (lastS‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
80 fveq2 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 + 1) = (♯‘𝑊) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
8180eqcoms 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
8281ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)))
83 ccatws1ls 13608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
8483ad2ant2r 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
8582, 84eqtr2d 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
8679, 85preq12d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
87863adantl3 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
8887eleq1d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
8988biimpd 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
9089impr 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
91 simprlr 798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
92 fveq2 6374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
93 oveq1 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 = 𝑁 → (𝑖 + 1) = (𝑁 + 1))
9493fveq2d 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
9592, 94preq12d 4430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑖 = 𝑁 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
9695eleq1d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 = 𝑁 → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
9796ralsng 4374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
9891, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
9990, 98mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
100 ralunb 3955 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
10159, 99, 100sylanbrc 578 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
102 elnn0uz 11924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
103102biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
104103ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
105104adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘0))
106 fzosplitsn 12783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
108107raleqdv 3291 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
109101, 108mpbird 248 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
110 ccatws1len 13590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
1111103ad2ant1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
112111adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
113112oveq1d 6856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
114 oveq1 6848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
115114oveq1d 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
116 ax-1cn 10246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℂ
117 addcl 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
118 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → 1 ∈ ℂ)
119117, 118pncand 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
12062, 116, 119sylancl 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
121115, 120sylan9eqr 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
122121ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
123122ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
124123com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
1251243ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1)))
126125imp 395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
127113, 126eqtrd 2798 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 + 1))
128127oveq2d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
129128raleqdv 3291 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
130109, 129mpbird 248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
131130exp32 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
13211, 131syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
133132adantl 473 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)))
134133imp 395 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
135134adantrd 485 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
136135imp 395 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
137 simpll 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
138 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍𝑉)
139 lswccats1 13609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑍𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
140137, 138, 139syl2an 589 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
141140eqcomd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)))
142137adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
1436adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
14469adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (𝑁 + 1))
14571ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
146144, 145mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 0 < (♯‘𝑊))
147146adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (♯‘𝑊))
148 ccatfv0 13553 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
149148eqcomd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0))
150142, 143, 147, 149syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑊‘0) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0))
151141, 150preq12d 4430 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})
152151exp31 410 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
153152com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
1541533ad2ant2 1164 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})))
155 wwlknbp2OLD 27029 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
1561wrdeqi 13508 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
157156eqcomi 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
158157eleq2i 2835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
159158biimpi 207 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
160159anim1i 608 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
161155, 160syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
162154, 161impel 501 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)}))
163162imp 395 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {𝑍, (𝑊‘0)} = {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)})
164163eleq1d 2828 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
165164biimpcd 240 . . . . . . . 8 ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
166165adantl 473 . . . . . . 7 (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
167166impcom 396 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸)
1689, 136, 1673jca 1158 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
169110ad2antrr 717 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
170114adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
171 1cnd 10287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
17262, 171, 171addassd 10315 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
173 1p1e2 11403 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1 + 1) = 2
174173oveq2i 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
175172, 174syl6eq 2814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
176175adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
177170, 176sylan9eq 2818 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑊) + 1) = (𝑁 + 2))
178169, 177eqtrd 2798 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
179178ex 401 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
180161, 179syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
181180adantl 473 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2)))
182181imp 395 . . . . . 6 ((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
183182adantr 472 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
184 2nn 11344 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
185 nn0nnaddcl 11570 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
186184, 185mpan2 682 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
1871863ad2ant2 1164 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
1881, 10isclwwlknx 27246 . . . . . . 7 ((𝑁 + 2) ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
189187, 188syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
190189ad3antrrr 721 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
191168, 183, 190mpbir2and 704 . . . 4 (((((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
192191exp31 410 . . 3 (((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word 𝑉) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
1932, 192mpancom 679 . 2 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
1941933impib 1144 1 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍𝑉𝑁 ∈ ℕ0) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2936  wral 3054  Vcvv 3349  cun 3729  c0 4078  {csn 4333  {cpr 4335   class class class wbr 4808  cfv 6067  (class class class)co 6841  cc 10186  cr 10187  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   < clt 10327  cmin 10519  cn 11273  2c2 11326  0cn0 11537  cuz 11885  ..^cfzo 12672  chash 13320  Word cword 13485  lastSclsw 13532   ++ cconcat 13540  ⟨“cs1 13565  Vtxcvtx 26164  Edgcedg 26215   WWalksN cwwlksn 27009   ClWWalksN cclwwlkn 27229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-rep 4929  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-int 4633  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-1o 7763  df-oadd 7767  df-er 7946  df-map 8061  df-pm 8062  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-fin 8163  df-card 9015  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-n0 11538  df-xnn0 11610  df-z 11624  df-uz 11886  df-rp 12028  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13486  df-lsw 13533  df-concat 13541  df-s1 13566  df-wwlks 27013  df-wwlksn 27014  df-clwwlk 27187  df-clwwlkn 27231
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