Theorem wwlksnextbij0OLD 27287

Description: Obsolete version of wwlksnextbij0 27282 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Aug-2018.) (Revised by AV, 18-Apr-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
wwlksnextbij0OLD.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wwlksnextbij0OLD.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextbij0OLD.d	⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 2) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)}
wwlksnextbij0OLD.r	⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {(lastS‘𝑊), 𝑛} ∈ 𝐸}
wwlksnextbij0OLD.f	⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (lastS‘𝑡))

Assertion

Ref	Expression
wwlksnextbij0OLD	⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝑅)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑊   𝑡,𝐷   𝑛,𝐸,𝑤   𝑡,𝑁,𝑤   𝑡,𝑅   𝑛,𝑉,𝑤   𝑛,𝑊   𝑡,𝑛,𝑁,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑤,𝑛)   𝑅(𝑤,𝑛)   𝐸(𝑡)   𝐹(𝑤,𝑡,𝑛)   𝐺(𝑡,𝑛)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem wwlksnextbij0OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlksnextbij0OLD.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2	1	wwlknbp 27208	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉))
3		wwlksnextbij0OLD.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
4		wwlksnextbij0OLD.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = (𝑁 + 2) ∧ (𝑤 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = 𝑊 ∧ {(lastS‘𝑊), (lastS‘𝑤)} ∈ 𝐸)}
5		wwlksnextbij0OLD.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = {𝑛 ∈ 𝑉 ∣ {(lastS‘𝑊), 𝑛} ∈ 𝐸}
6		wwlksnextbij0OLD.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑡 ∈ 𝐷 ↦ (lastS‘𝑡))
7	1, 3, 4, 5, 6	wwlksnextinjOLD 27285	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝐷–1-1→𝑅)
8	7	3ad2ant2 1125	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word 𝑉) → 𝐹:𝐷–1-1→𝑅)
9	2, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → 𝐹:𝐷–1-1→𝑅)
10	1, 3, 4, 5, 6	wwlksnextsurOLD 27286	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → 𝐹:𝐷–onto→𝑅)
11		df-f1o 6144	. 2 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝑅 ↔ (𝐹:𝐷–1-1→𝑅 ∧ 𝐹:𝐷–onto→𝑅))
12	9, 10, 11	sylanbrc 578	1 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  {crab 3094  Vcvv 3398  {cpr 4400  ⟨cop 4404   ↦ cmpt 4967  –1-1→wf1 6134  –onto→wfo 6135  –1-1-onto→wf1o 6136  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  0cc0 10274  1c1 10275   + caddc 10277  2c2 11435  ℕ₀cn0 11647  ♯chash 13441  Word cword 13605  lastSclsw 13658   substr csubstr 13736  Vtxcvtx 26361  Edgcedg 26412   WWalksN cwwlksn 27192

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-map 8144  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-xnn0 11720  df-z 11734  df-uz 11998  df-rp 12143  df-fz 12649  df-fzo 12790  df-hash 13442  df-word 13606  df-lsw 13659  df-concat 13667  df-s1 13692  df-substr 13737  df-pfx 13786  df-wwlks 27196  df-wwlksn 27197

This theorem is referenced by:  wwlksnextbijOLD  27289