Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnextproplem1OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnextproplem1OLD 27284
 Description: Obsolete version of wwlksnextproplem1 27283 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 31-Jul-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (Proof shortened by AV, 13-Mar-2022.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem1OLD ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))

Proof of Theorem wwlksnextproplem1OLD
StepHypRef Expression
1 wwlknbp1 27193 . . . . 5 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)))
2 simpl2 1201 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3 peano2nn0 11684 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
433ad2ant1 1124 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
5 eleq1 2846 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0))
653ad2ant3 1126 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0))
74, 6mpbird 249 . . . . . . . . 9 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
87adantr 474 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
9 simpr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
10 nn0re 11652 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1110lep1d 11309 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
12113ad2ant1 1124 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
13 breq2 4890 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
14133ad2ant3 1126 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → ((𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊) ↔ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
1512, 14mpbird 249 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
1615adantr 474 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊))
17 nn0p1elfzo 12830 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ (♯‘𝑊)) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
189, 8, 16, 17syl3anc 1439 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
19 fz0add1fz1 12857 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
208, 18, 19syl2anc 579 . . . . . . 7 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
212, 20jca 507 . . . . . 6 ((((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))))
2221ex 403 . . . . 5 (((𝑁 + 1) ∈ ℕ0𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))))
231, 22syl 17 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))))
24 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
2523, 24eleq2s 2876 . . 3 (𝑊𝑋 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊)))))
2625imp 397 . 2 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))))
27 swrd0fv0OLD 13759 . 2 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
2826, 27syl 17 1 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  ⟨cop 4403   class class class wbr 4886  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275   ≤ cle 10412  ℕ0cn0 11642  ...cfz 12643  ..^cfzo 12784  ♯chash 13435  Word cword 13599   substr csubstr 13730  Vtxcvtx 26344   WWalksN cwwlksn 27175 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-hash 13436  df-word 13600  df-substr 13731  df-wwlks 27179  df-wwlksn 27180 This theorem is referenced by:  wwlksnextproplem3OLD  27288  wwlksnextpropOLD  27290
 Copyright terms: Public domain W3C validator