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Theorem wwlksnextproplem3OLD 27194
 Description: Obsolete version of wwlksnextproplem3 27193 as of 12-Oct-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Aug-2018.) (Revised by AV, 20-Apr-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
wwlksnextprop.x 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
wwlksnextprop.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
wwlksnextprop.y 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
Assertion
Ref Expression
wwlksnextproplem3OLD ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝑁   𝑤,𝑃   𝑤,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤)   𝑋(𝑤)   𝑌(𝑤)

Proof of Theorem wwlksnextproplem3OLD
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn0 11621 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
2 iswwlksn 27088 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
31, 2syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ↔ (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1))))
4 eqid 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
54wwlkbp 27091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → (𝐺 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺)))
6 lencl 13552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7 eqcom 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊))
8 nn0cn 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
98adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
10 1cnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
11 nn0cn 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
121, 11syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
1312adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
14 subadd2 10577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ ((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊)))
1514bicomd 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℂ) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
169, 10, 13, 15syl3anc 1491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑁 + 1) + 1) = (♯‘𝑊) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
177, 16syl5bb 275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ↔ ((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1)))
18 eqcom 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) ↔ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
1918biimpi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((♯‘𝑊) − 1) = (𝑁 + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
2017, 19syl6bi 245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))
2120ex 402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (𝑁 ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
2221com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
236, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
245, 23simpl2im 498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) → ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))))
2524imp 396 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1)))
2625imp 396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) = ((♯‘𝑊) − 1))
2726opeq2d 4601 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨0, (𝑁 + 1)⟩ = ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩)
2827oveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) = (𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩))
29 simpll 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺))
30 nn0ge0 11606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑁)
31 2re 11386 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ∈ ℝ)
33 nn0re 11589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3432, 33addge02d 10909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (0 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ (𝑁 + 2)))
3530, 34mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ (𝑁 + 2))
36 nn0cn 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
37 1cnd 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
3836, 37, 37addassd 10352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
39 1p1e2 11444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 + 1) = 2
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ0 → (1 + 1) = 2)
4140oveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2))
4238, 41eqtrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
4335, 42breqtrrd 4872 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
4443adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
45 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
4645ad2antlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (2 ≤ (♯‘𝑊) ↔ 2 ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
4744, 46mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 2 ≤ (♯‘𝑊))
4829, 47jca 508 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)))
49 wwlksm1edgOLD 27138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ 2 ≤ (♯‘𝑊)) → (𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
5128, 50eqeltrd 2879 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
5251expcom 403 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
533, 52sylbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
5453com12 32 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
5554adantr 473 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺)))
5655imp 396 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺))
57 wwlksnextprop.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (Edg‘𝐺)
584, 57wwlknp 27093 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
59 simpll 784 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
60 peano2nn0 11621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
611, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0)
62 peano2re 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6333, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
6463lep1d 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1))
65 elfz2nn0 12684 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)) ↔ ((𝑁 + 1) ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ≤ ((𝑁 + 1) + 1)))
661, 61, 64, 65syl3anbrc 1444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6766adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...((𝑁 + 1) + 1)))
68 oveq2 6887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
6968adantr 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0...(♯‘𝑊)) = (0...((𝑁 + 1) + 1)))
7067, 69eleqtrrd 2882 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7170adantll 706 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7259, 71jca 508 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
7372ex 402 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1)) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
74733adant3 1163 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = ((𝑁 + 1) + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){(𝑊𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
7558, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
7675adantr 473 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))))
7776imp 396 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
78 swrd0lenOLD 13671 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
7977, 78syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))
8056, 79jca 508 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1)))
81 iswwlksn 27088 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
8281adantl 474 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)) = (𝑁 + 1))))
8380, 82mpbird 249 . . . . 5 (((𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑃) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8483exp31 411 . . . 4 (𝑊 ∈ ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺) → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
85 wwlksnextprop.x . . . 4 𝑋 = ((𝑁 + 1) WWalksN 𝐺)
8684, 85eleq2s 2897 . . 3 (𝑊𝑋 → ((𝑊‘0) = 𝑃 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))))
87863imp 1138 . 2 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
8885wwlksnextproplem1OLD 27190 . . . 4 ((𝑊𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
89883adant2 1162 . . 3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘0))
90 simp2 1168 . . 3 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊‘0) = 𝑃)
9189, 90eqtrd 2834 . 2 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃)
92 fveq1 6411 . . . 4 (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → (𝑤‘0) = ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0))
9392eqeq1d 2802 . . 3 (𝑤 = (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) → ((𝑤‘0) = 𝑃 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
94 wwlksnextprop.y . . 3 𝑌 = {𝑤 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}
9593, 94elrab2 3561 . 2 ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌 ↔ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ ((𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩)‘0) = 𝑃))
9687, 91, 95sylanbrc 579 1 ((𝑊𝑋 ∧ (𝑊‘0) = 𝑃𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑊 substr ⟨0, (𝑁 + 1)⟩) ∈ 𝑌)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385   ∧ w3a 1108   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  ∀wral 3090  {crab 3094  Vcvv 3386  {cpr 4371  ⟨cop 4375   class class class wbr 4844  ‘cfv 6102  (class class class)co 6879  ℂcc 10223  ℝcr 10224  0cc0 10225  1c1 10226   + caddc 10228   ≤ cle 10365   − cmin 10557  2c2 11367  ℕ0cn0 11579  ...cfz 12579  ..^cfzo 12719  ♯chash 13369  Word cword 13533   substr csubstr 13663  Vtxcvtx 26230  Edgcedg 26281  WWalkscwwlks 27075   WWalksN cwwlksn 27076 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-rep 4965  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184  ax-cnex 10281  ax-resscn 10282  ax-1cn 10283  ax-icn 10284  ax-addcl 10285  ax-addrcl 10286  ax-mulcl 10287  ax-mulrcl 10288  ax-mulcom 10289  ax-addass 10290  ax-mulass 10291  ax-distr 10292  ax-i2m1 10293  ax-1ne0 10294  ax-1rid 10295  ax-rnegex 10296  ax-rrecex 10297  ax-cnre 10298  ax-pre-lttri 10299  ax-pre-lttrn 10300  ax-pre-ltadd 10301  ax-pre-mulgt0 10302 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-riota 6840  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-1st 7402  df-2nd 7403  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-map 8098  df-pm 8099  df-en 8197  df-dom 8198  df-sdom 8199  df-fin 8200  df-card 9052  df-pnf 10366  df-mnf 10367  df-xr 10368  df-ltxr 10369  df-le 10370  df-sub 10559  df-neg 10560  df-nn 11314  df-2 11375  df-n0 11580  df-z 11666  df-uz 11930  df-fz 12580  df-fzo 12720  df-hash 13370  df-word 13534  df-substr 13664  df-wwlks 27080  df-wwlksn 27081 This theorem is referenced by:  wwlksnextpropOLD  27196
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