Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wwlksnwwlksnonOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wwlksnwwlksnonOLD 27118
 Description: Obsolete version of wwlksnwwlksnon 27116 as of 13-Mar-2022. (Contributed by Alexander van der Vekens, 21-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
wwlksnwwlksnon.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
wwlksnwwlksnonOLD ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏   𝑁,𝑎,𝑏   𝑉,𝑎,𝑏   𝑊,𝑎,𝑏   𝑈,𝑎,𝑏

Proof of Theorem wwlksnwwlksnonOLD
StepHypRef Expression
1 wwlknbp2OLD 27030 . . . . . 6 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
21adantl 473 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
3 wwlksnwwlksnon.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43eqcomi 2774 . . . . . . . . . . 11 (Vtx‘𝐺) = 𝑉
54wrdeqi 13509 . . . . . . . . . 10 Word (Vtx‘𝐺) = Word 𝑉
65eleq2i 2836 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ↔ 𝑊 ∈ Word 𝑉)
76biimpi 207 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
87adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 nn0p1nn 11579 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
10 lbfzo0 12716 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
119, 10sylibr 225 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
1211ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
13 oveq2 6850 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
1413eleq2d 2830 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
1514ad2antll 720 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 0 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
1612, 15mpbird 248 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
17 wrdsymbcl 13499 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
188, 16, 17syl2an2 677 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) ∈ 𝑉)
19 fzonn0p1 12753 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
2019ad3antrrr 721 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
2113eleq2d 2830 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
2221ad2antll 720 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑁 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
2320, 22mpbird 248 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
24 wrdsymbcl 13499 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝑁) ∈ 𝑉)
258, 23, 24syl2an2 677 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊𝑁) ∈ 𝑉)
26 simplr 785 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
27 eqidd 2766 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
28 eqidd 2766 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))
29 eqeq2 2776 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊‘0) = 𝑎 ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
30293anbi2d 1565 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑊‘0) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
31 eqeq2 2776 . . . . . . . 8 (𝑏 = (𝑊𝑁) → ((𝑊𝑁) = 𝑏 ↔ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁)))
32313anbi3d 1566 . . . . . . 7 (𝑏 = (𝑊𝑁) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))))
3330, 32rspc2ev 3476 . . . . . 6 (((𝑊‘0) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊𝑁) ∈ 𝑉 ∧ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = (𝑊‘0) ∧ (𝑊𝑁) = (𝑊𝑁))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
3418, 25, 26, 27, 28, 33syl113anc 1501 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) ∧ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
352, 34mpdan 678 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏))
3635ex 401 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
37 simp1 1166 . . . . 5 ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺))
3837a1i 11 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
3938rexlimdvva 3185 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) → 𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺)))
4036, 39impbid 203 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
413wwlknonOLD 27046 . . . . 5 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → (𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏) ↔ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏)))
4241bicomd 214 . . . 4 ((𝑎𝑉𝑏𝑉) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
4342adantl 473 . . 3 (((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) ∧ (𝑎𝑉𝑏𝑉)) → ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
44432rexbidva 3203 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (∃𝑎𝑉𝑏𝑉 (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘0) = 𝑎 ∧ (𝑊𝑁) = 𝑏) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
4540, 44bitrd 270 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐺𝑈) → (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ↔ ∃𝑎𝑉𝑏𝑉 𝑊 ∈ (𝑎(𝑁 WWalksNOn 𝐺)𝑏)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 197   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ∃wrex 3056  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  ℕcn 11274  ℕ0cn0 11538  ..^cfzo 12673  ♯chash 13321  Word cword 13486  Vtxcvtx 26165   WWalksN cwwlksn 27010   WWalksNOn cwwlksnon 27011 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266 This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13487  df-wwlks 27014  df-wwlksn 27015  df-wwlksnon 27016 This theorem is referenced by:  wspthsnwspthsnonOLD  27119
 Copyright terms: Public domain W3C validator