Theorem xpsc 16528

Description: A short expression for the pair function mapping 0 to 𝐴 and 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsc	⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))

Proof of Theorem xpsc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snex 5097	. . . 4 ⊢ {𝐴} ∈ V
2		snex 5097	. . . 4 ⊢ {𝐵} ∈ V
3		cdaval 9278	. . . 4 ⊢ (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})))
4	1, 2, 3	mp2an 684	. . 3 ⊢ ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
5	4	cnveqi 5498	. 2 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = ◡(({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
6		cnvun 5753	. 2 ⊢ ◡(({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})) = (◡({𝐴} × {∅}) ∪ ◡({𝐵} × {1𝑜}))
7		cnvxp 5766	. . 3 ⊢ ◡({𝐴} × {∅}) = ({∅} × {𝐴})
8		cnvxp 5766	. . 3 ⊢ ◡({𝐵} × {1𝑜}) = ({1𝑜} × {𝐵})
9	7, 8	uneq12i 3961	. 2 ⊢ (◡({𝐴} × {∅}) ∪ ◡({𝐵} × {1𝑜})) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
10	5, 6, 9	3eqtri 2823	1 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))

Syntax hints:   = wceq 1653   ∈ wcel 2157  Vcvv 3383   ∪ cun 3765  ∅c0 4113  {csn 4366   × cxp 5308  ^◡ccnv 5309  (class class class)co 6876  1_𝑜c1o 7790   +_𝑐 ccda 9275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-cda 9276

This theorem is referenced by:  xpscg  16529  xpsc0  16531  xpsc1  16532  xpsfrnel2  16536