MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsc 16528
Description: A short expression for the pair function mapping 0 to 𝐴 and 1 to 𝐵. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))

Proof of Theorem xpsc
StepHypRef Expression
1 snex 5097 . . . 4 {𝐴} ∈ V
2 snex 5097 . . . 4 {𝐵} ∈ V
3 cdaval 9278 . . . 4 (({𝐴} ∈ V ∧ {𝐵} ∈ V) → ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})))
41, 2, 3mp2an 684 . . 3 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
54cnveqi 5498 . 2 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
6 cnvun 5753 . 2 (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})) = (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜}))
7 cnvxp 5766 . . 3 ({𝐴} × {∅}) = ({∅} × {𝐴})
8 cnvxp 5766 . . 3 ({𝐵} × {1𝑜}) = ({1𝑜} × {𝐵})
97, 8uneq12i 3961 . 2 (({𝐴} × {∅}) ∪ ({𝐵} × {1𝑜})) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
105, 6, 93eqtri 2823 1 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1𝑜} × {𝐵}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1653  wcel 2157  Vcvv 3383  cun 3765  c0 4113  {csn 4366   × cxp 5308  ccnv 5309  (class class class)co 6876  1𝑜c1o 7790   +𝑐 ccda 9275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2375  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-cda 9276
This theorem is referenced by:  xpscg  16529  xpsc0  16531  xpsc1  16532  xpsfrnel2  16536
  Copyright terms: Public domain W3C validator