Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsc0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsc0 16606
 Description: The pair function maps 0 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xpsc0 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem xpsc0
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpsc 16603 . . . 4 ({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))
21fveq1i 6447 . . 3 (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘∅)
3 fnconstg 6343 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn {∅})
4 fvi 6515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
54elv 3402 . . . . . . . . . . . 12 ( I ‘𝑥) = 𝑥
6 elsni 4415 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
76fveq2d 6450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ {𝐵} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
85, 7syl5eqr 2828 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = ( I ‘𝐵))
9 velsn 4414 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐵))
108, 9sylibr 226 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)})
1110ssriv 3825 . . . . . . . . 9 {𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)}
12 xpss2 5375 . . . . . . . . 9 ({𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)} → ({1o} × {𝐵}) ⊆ ({1o} × {( I ‘𝐵)}))
1311, 12ax-mp 5 . . . . . . . 8 ({1o} × {𝐵}) ⊆ ({1o} × {( I ‘𝐵)})
14 1oex 7851 . . . . . . . . 9 1o ∈ V
15 fvex 6459 . . . . . . . . 9 ( I ‘𝐵) ∈ V
1614, 15xpsn 6672 . . . . . . . 8 ({1o} × {( I ‘𝐵)}) = {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩}
1713, 16sseqtri 3856 . . . . . . 7 ({1o} × {𝐵}) ⊆ {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩}
1814, 15funsn 6187 . . . . . . 7 Fun {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩}
19 funss 6154 . . . . . . 7 (({1o} × {𝐵}) ⊆ {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩} → (Fun {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩} → Fun ({1o} × {𝐵})))
2017, 18, 19mp2 9 . . . . . 6 Fun ({1o} × {𝐵})
21 funfn 6165 . . . . . 6 (Fun ({1o} × {𝐵}) ↔ ({1o} × {𝐵}) Fn dom ({1o} × {𝐵}))
2220, 21mpbi 222 . . . . 5 ({1o} × {𝐵}) Fn dom ({1o} × {𝐵})
2322a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({1o} × {𝐵}) Fn dom ({1o} × {𝐵}))
24 dmxpss 5819 . . . . . . 7 dom ({1o} × {𝐵}) ⊆ {1o}
25 sslin 4059 . . . . . . 7 (dom ({1o} × {𝐵}) ⊆ {1o} → ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1o}))
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1o})
27 1n0 7859 . . . . . . . 8 1o ≠ ∅
2827necomi 3023 . . . . . . 7 ∅ ≠ 1o
29 disjsn2 4479 . . . . . . 7 (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
3028, 29ax-mp 5 . . . . . 6 ({∅} ∩ {1o}) = ∅
31 sseq0 4201 . . . . . 6 ((({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1o}) ∧ ({∅} ∩ {1o}) = ∅) → ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) = ∅)
3226, 30, 31mp2an 682 . . . . 5 ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) = ∅
3332a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) = ∅)
34 0ex 5026 . . . . . 6 ∅ ∈ V
3534snid 4430 . . . . 5 ∅ ∈ {∅}
3635a1i 11 . . . 4 (𝐴𝑉 → ∅ ∈ {∅})
37 fvun1 6529 . . . 4 ((({∅} × {𝐴}) Fn {∅} ∧ ({1o} × {𝐵}) Fn dom ({1o} × {𝐵}) ∧ (({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) = ∅ ∧ ∅ ∈ {∅})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
383, 23, 33, 36, 37syl112anc 1442 . . 3 (𝐴𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
392, 38syl5eq 2826 . 2 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
40 xpsng 6671 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
4140fveq1d 6448 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅))
42 fvsng 6713 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅) = 𝐴)
4341, 42eqtrd 2814 . . 3 ((∅ ∈ V ∧ 𝐴𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
4434, 43mpan 680 . 2 (𝐴𝑉 → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
4539, 44eqtrd 2814 1 (𝐴𝑉 → (({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398   ∪ cun 3790   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  {csn 4398  ⟨cop 4404   I cid 5260   × cxp 5353  ◡ccnv 5354  dom cdm 5355  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1oc1o 7836   +𝑐 ccda 9324 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1o 7843  df-cda 9325 This theorem is referenced by:  xpscfv  16608  xpsfeq  16610  xpsfrnel2  16611  xpsff1o  16614  xpsle  16627  dmdprdpr  18835  dprdpr  18836  xpstopnlem1  22021  xpstopnlem2  22023  xpsxmetlem  22592  xpsdsval  22594  xpsmet  22595
 Copyright terms: Public domain W3C validator