Theorem xpsc0 16606

Description: The pair function maps 0 to 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
xpsc0	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Proof of Theorem xpsc0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsc 16603	. . . 4 ⊢ ◡({𝐴} +𝑐 {𝐵}) = (({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))
2	1	fveq1i 6447	. . 3 ⊢ (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘∅)
3		fnconstg 6343	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} × {𝐴}) Fn {∅})
4		fvi 6515	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ V → ( I ‘𝑥) = 𝑥)
5	4	elv 3402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( I ‘𝑥) = 𝑥
6		elsni 4415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = 𝐵)
7	6	fveq2d 6450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → ( I ‘𝑥) = ( I ‘𝐵))
8	5, 7	syl5eqr 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 = ( I ‘𝐵))
9		velsn 4414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)} ↔ 𝑥 = ( I ‘𝐵))
10	8, 9	sylibr 226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ {𝐵} → 𝑥 ∈ {( I ‘𝐵)})
11	10	ssriv 3825	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)}
12		xpss2 5375	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝐵} ⊆ {( I ‘𝐵)} → ({1o} × {𝐵}) ⊆ ({1o} × {( I ‘𝐵)}))
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × {𝐵}) ⊆ ({1o} × {( I ‘𝐵)})
14		1oex 7851	. . . . . . . . 9 ⊢ 1o ∈ V
15		fvex 6459	. . . . . . . . 9 ⊢ ( I ‘𝐵) ∈ V
16	14, 15	xpsn 6672	. . . . . . . 8 ⊢ ({1o} × {( I ‘𝐵)}) = {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩}
17	13, 16	sseqtri 3856	. . . . . . 7 ⊢ ({1o} × {𝐵}) ⊆ {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩}
18	14, 15	funsn 6187	. . . . . . 7 ⊢ Fun {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩}
19		funss 6154	. . . . . . 7 ⊢ (({1o} × {𝐵}) ⊆ {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩} → (Fun {⟨1o, ( I ‘𝐵)⟩} → Fun ({1o} × {𝐵})))
20	17, 18, 19	mp2 9	. . . . . 6 ⊢ Fun ({1o} × {𝐵})
21		funfn 6165	. . . . . 6 ⊢ (Fun ({1o} × {𝐵}) ↔ ({1o} × {𝐵}) Fn dom ({1o} × {𝐵}))
22	20, 21	mpbi 222	. . . . 5 ⊢ ({1o} × {𝐵}) Fn dom ({1o} × {𝐵})
23	22	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({1o} × {𝐵}) Fn dom ({1o} × {𝐵}))
24		dmxpss 5819	. . . . . . 7 ⊢ dom ({1o} × {𝐵}) ⊆ {1o}
25		sslin 4059	. . . . . . 7 ⊢ (dom ({1o} × {𝐵}) ⊆ {1o} → ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1o}))
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1o})
27		1n0 7859	. . . . . . . 8 ⊢ 1o ≠ ∅
28	27	necomi 3023	. . . . . . 7 ⊢ ∅ ≠ 1o
29		disjsn2 4479	. . . . . . 7 ⊢ (∅ ≠ 1o → ({∅} ∩ {1o}) = ∅)
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∩ {1o}) = ∅
31		sseq0 4201	. . . . . 6 ⊢ ((({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) ⊆ ({∅} ∩ {1o}) ∧ ({∅} ∩ {1o}) = ∅) → ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) = ∅)
32	26, 30, 31	mp2an 682	. . . . 5 ⊢ ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) = ∅
33	32	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) = ∅)
34		0ex 5026	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
35	34	snid 4430	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ {∅}
36	35	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∅ ∈ {∅})
37		fvun1 6529	. . . 4 ⊢ ((({∅} × {𝐴}) Fn {∅} ∧ ({1o} × {𝐵}) Fn dom ({1o} × {𝐵}) ∧ (({∅} ∩ dom ({1o} × {𝐵})) = ∅ ∧ ∅ ∈ {∅})) → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
38	3, 23, 33, 36, 37	syl112anc 1442	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ((({∅} × {𝐴}) ∪ ({1o} × {𝐵}))‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
39	2, 38	syl5eq 2826	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = (({∅} × {𝐴})‘∅))
40		xpsng 6671	. . . . 5 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({∅} × {𝐴}) = {⟨∅, 𝐴⟩})
41	40	fveq1d 6448	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅))
42		fvsng 6713	. . . 4 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → ({⟨∅, 𝐴⟩}‘∅) = 𝐴)
43	41, 42	eqtrd 2814	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
44	34, 43	mpan 680	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (({∅} × {𝐴})‘∅) = 𝐴)
45	39, 44	eqtrd 2814	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (◡({𝐴} +𝑐 {𝐵})‘∅) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969  Vcvv 3398   ∪ cun 3790   ∩ cin 3791   ⊆ wss 3792  ∅c0 4141  {csn 4398  ⟨cop 4404   I cid 5260   × cxp 5353  ^◡ccnv 5354  dom cdm 5355  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1_oc1o 7836   +_𝑐 ccda 9324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-ord 5979  df-on 5980  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1o 7843  df-cda 9325

This theorem is referenced by:  xpscfv  16608  xpsfeq  16610  xpsfrnel2  16611  xpsff1o  16614  xpsle  16627  dmdprdpr  18835  dprdpr  18836  xpstopnlem1  22021  xpstopnlem2  22023  xpsxmetlem  22592  xpsdsval  22594  xpsmet  22595